1、4.3.2等比数列的前n项和公式（1）教学设计-李德峰（一）教学内容 等比数列的前n项和公式（二）教材分析 1. 教材来源 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列2. 地位与作用 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。（三）学情分析 1.认知基础：学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式2.认知障碍：等比数列前n项和公式推导需要突破被等差数列前n项和的思维定势。（四）教学目标 1. 知识目标：探索并掌握等比数列的前n项和公式.解等比数列
2、的通项公式与前n项和公式的关系.2.能力目标：通过公式运用的探索，提高类比与转化的数学能力3.素养目标：在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养（五）教学重难点：1. 重点：等比数列的前n项的运用 2. 难点：等比数列的前n项和公式的推导（六）教学思路与方法 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七） 课前准备多媒体（八）教学过程 教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类
3、推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016-2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.让学生猜想讨论用一个有趣的故事情景来引入数列求和的问题。这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情景只提供了一个求等比数列的问题背景，而没有提供算法，极大调动了学生的学习积极性。教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.
4、是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+263=？问题3：如何求解该问题.思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 问题4：观察 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？an=an-1q(n2,q0)问题5：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？根据等比数列的通项公式，Sn=a1+a1q+a2q2+a1qn-3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q
5、2+a2q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn -得, Sn -qSn=a1 -a1qn即Sn(1 -q)=a1( 1-qn)问题6：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？Sn(1-q)=a1(1-qn)当1-q=0时，即 q=1 时，Sn=na1当1-q0时，即 q1 时， Sn=a1(1-qn)1-q所以等比数列前n项和公式：Sn（a1,q、n)Sn（a1,q、an)问题3的解决： “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实
6、现上述要求.”1+2+22+23+263a1=1,q=2，n=64S64=1(1-264)1-2 =264 -11.841019一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！教师铺设问题，学生完成探究通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例7.已知数列an是等比数列.（1）若a1=12，求s8；（2）若a1=27，求s8；（3）若a1=8，求n.解：（1）因为，所以.（2）由，可得，即.又由，得 .所以 .（3）把a1=8，代入
7、，得，整理，得 ，解得n=5例8 已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q.解：若q=1，则，所以q1.当q1时,由得(-1)(1-q10)1-q(-1)(1-q5)1-q=3132.整理，得 ，即 .所以.例9 已知等比数列an的公比q1，前n项和为sn.证明sn, s2n-sn, s3n-s2n成等比数列，并求这个数列的公比.证明:(方法一)当q=1时，sn=na1 ，所以sn, s2n-sn, s3n-s2n成等比数列，公比为1.当q1.时，sn=a1(1-qn)1-q s2n-sn=a11-q2n1-q-a1(1-qn)1-q=a1qn(1-qn)1-q=qnsns3n-s2
8、n=a11-q3n1-q-a1(1-q2n)1-q=a1q2n(1-qn)1-q=qns2n-sn所以s2n-snsn=s3n-s2ns2n-sn=qn.因为qn为常数，所以sn, s2n-sn, s3n-s2n成等比数列，公比为qn.先让学生展示，老师完善sn, s2n-sn,给出了等比数列an的5个相关量a1,an,q,n,sn中的3个，让学生选择等比数列的前n项和公式（1）和（2）求其他2个未知量，发展学生的运算素养等比数列前n项和公式，需要注意讨论公比是否为1在等比数列的基础上，利用前n项和证明这个数列也是等比数列，推出等比数列的一个性质教学环节：课堂练习1.数列1，5，52，53，5
9、4，的前10项和为( )A. B.C. D.解析 S10(5101).答案 B2.设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于( )A.2 B.4 C. D.解析 由等比数列的定义，S4a1a2a3a4a2a2qa2q2，得1qq2.答案 C3.等比数列an中，a38，a664，则an的前5项的和是_.解析 q38，q2，从而a12.S562.答案 624.已知等比数列an中，a12，q2，前n项和Sn126，则n_.解析 Sn126，即2n1128，故n17，n6.答案 65.在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.解 由题意，得若q1，则S33a16，符合题意.此时，q1，a3a
10、12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.学生自行完成，教师统计完成情况，展示答案。通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。教学环节：小结思考 布置作业小结：1.通过学习等比数列前n项和公式及其应用，提升数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.3.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况.作业：课本37页练习1、2、3、4、5题，课本40-41页3、5、6题。教学环节：板书设计Sn公式推导例7例8例9小结：
