1、2013届高三第四次月考数学理试题时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（每题5分，共40分，每题只有一个正确选项）1.巳知全集，是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩（enn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A 个 个 个 无穷个2设不等式的解集为，函数的定义域为，则为（ ）A BCD 3.在的( )A充分不必要条件B必要不充分条件Z*XC充要条件D既不充分也不必要条件4如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是（ ）5. 函数的图象大致是（ ）6函数的图像为C,如下结论中正确的是（ ）A图像C关于直线对称 B图像C关于点
2、对称C函数在区间内是增函数D由的图像向右平移个单位长度可以得到图像C。7. 设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中不正确的是（ ）A.若，则与相交 B.若则C.若 / ， / ，则 D.若 / ，则 / 8对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若，则的上确界为 （ ） ()3 () () () 二、 填空题（每题5分，共30分，其中9-13题为必做题，14、15为选做题，）（9-13题为必做题）9.抛物线在点（0，1）处的切线方程为 10.已知等比数列各项均为正数,前项和为，若，则公比q= ， 11.若的展开式中x4的系数为 12. 已知函数，则实数a= 13在平面直角坐标系
3、上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则 ，经推理可得到 （第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分）14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 与圆的公共点个数是_15. （几何证明选讲选做题）如图4，是圆上的两点，且，为的中点，连接并延长交圆于点，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分16.（12分） 已知函数，（1）求该函数的最小正周期和最小值；（2）若，求该函数的单调递增区间。. 17. （12分）在中，角所对的边为，已知（1）求的值；（2）若的面积为，求的值19.（本题满分14分）在数列中，
4、并且对任意都有成立，令（）求数列的通项公式；（）设数列的前n项和为，证明：20.（14分）已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。21（本小题满分14分）已知函数 （1）求函数f(x)的极值；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证.2013届碣石中学高三级第四次月考数学（理科）答案一 、选择题（每题5分，共40分）1. B 2 A.3. B 4.C.5. D.6.C选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14. 1 ,15.三、解答题：本大题共6小题，满分
5、80分16. 已知函数，（1）求该函数的最小正周期和最小值；（2）若，求该函数的单调递增区间。解：（1） -3分 所以 -6分 （2）-8分令，得到或， 与取交集, 得到或,所以，当时，函数的. -12分 17. 在中，角所对的边为，已知（1）求的值；（2）若的面积为，求的值解：（1），或，所以 5分（2）由解得 或 8分 又 由或 12分18（本小题满分14分）甲和乙参加智力答题活动，活动规则：答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；每人最多答3个题；答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为。（1）求甲恰好得30分
6、的概率；（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；（3）求甲恰好比乙多30分的概率.答案 1. （I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，-3分（II）的取值为0，10， 30，60.-4分， ，的概率分布如下表：010 3060-8分-10分（III）设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1, 甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A=为互斥事件. . 所以，甲恰好比乙多30分的概率为-14分19.（本小题满分14分）在数列中，并且对任意都有成立，令（）求数列的通项公式；（）设数列的前n项和为，证明：解：（1）当n=1时，,当时，由得
7、所以-4分所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为-5分（2）-7分-11分可知Tn是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，的值趋近于0，当n=1时Tn取最小值，故有-14分20.已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。解：（）离心率，即（1）；又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，椭圆方程为。-4分（）设，弦MN的中点A由得：，-6分直线与椭圆交于不同的两点，即（1）-8分由韦达定理得：，则，-10分直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，-12分代入（1）式，可得，即，则-14分21（本小题满分14分）已知函数 （1）求函数f(x)的极值；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证.21.解：（）因为， x 0，则，1分 当时，；当时，. 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值f（1）=1 ，无极小值。3分 （）不等式即为 记 所以7分 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 . 9分（3）由（2）知：恒成立，即， 令，则