1、第1讲函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m等于()A.或 B或3C3或 D3或3解析圆的方程(x1)2y23，圆心(1，0)到直线的距离等于半径|m|2m或m3.答案C2已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是()A5 B7 C9 D10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x)lg x，则x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点答案C3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解
2、集为()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)解析f(x)2转化为f(x)20，构造函数F(x)f(x)2x，得F(x)在R上是增函数又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即F(x)4F(1)，所以x1.答案B4已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A. B2 C. D2解析如图，设a，b，c，则ac，bc.由题意知，O，A，C，B四点共圆当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|.答案A二、填空题5(2014江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_解析因为a8a2q6，a6a2q4，
3、a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.答案46若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_解析作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.答案7经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为
4、.答案1，18满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_解析可设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCx，由余弦定理计算得cos B，代入上式得SABCx.由得22x22.故当x2时，SABC的最大值为2.答案2三、解答题9已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值解(1)设an的公差为d，由已知条件，解出a13，d2.所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.10椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆
5、C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21.即y22x21.(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmxm210，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3 ，所以x13x2.所以所以3(x1x2)24x1x20.所以340.整理得4k2m22m2k220，即k2(4m2
6、1)(2m22)0.当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20.解得1m或m1.综上，所求m的取值范围为.11设函数f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在x1处的切线互相平行(1)求b的值；(2)若函数F(x)且方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解函数g(x)bx2ln x的定义域为(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依题意得2b10，所以b.(2)x(0，1)时，g(x)x0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，)时，g(x)x0，即g(x)在(1，)上单调
7、递增，所以当x1时，g(x)取得极小值g(1)；当a0时，方程F(x)a2不可能有四个解；当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递减，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解当a0，x(，1)时，f(x)0，即f(x)在(，1)上单调递增，x(1，0)时，f(x)0，即f(x)在(1，0)上单调递减，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)a2有四个解，则a22a，所以，实数a的取值范围是.