1、章末综合测评(三)解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，ak，bk(k0)，A45，则满足条件的三角形有()A0个 B1个 C2个 D无数个A由正弦定理得，所以sin B1，即sin B1，这是不成立的所以没有满足此条件的三角形2在ABC中，sin Asin Bsin C323，则cos C的值为()A BC DA根据正弦定理，abcsi Asin Bsin C323，设a3k，b2k，c3k(k0)则有cos C3在ABC中，A，BC3，AB，则C()A或 BC DC由，得s
2、in CBC3，AB，AC，则C为锐角，故C4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若b6，a2c，B，则ABC的面积为()A6 B12 C4 D2A法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6故选A法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266故选A5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2，则ABC的形状为(
3、)A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形B由已知可得，即cos A，bccos A法一：由余弦定理得cos A，则bc，所以c2a2b2，由此知ABC为直角三角形法二：由正弦定理，得sin Bsin Ccos A在ABC中，sin Bsin(AC)，从而有sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A，即sin Acos C0在ABC中，sin A0，所以cos C0，由此得C，故ABC为直角三角形6设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a2，B2A，则b的取值范围为()A(2，2) B(2，4)C(2，2) D(0，4)A在锐角三角形AB
4、C中，B2A，02A，且BA3A，C3A03A，A，cos Aa2，B2A，由正弦定理得2cos A，b4cos A，24cos A2，则b的取值范围为(2，2)7如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()A B C DD设BDa，则BC2a，ABADa在ABD中，由余弦定理，得cos A又A为ABC的内角，sin A在ABC中，由正弦定理得，sin Csin A8启东中学天文台是启中校园的标志性建筑小明同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼AB，其高为(155)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，天文台顶C的
5、仰角分别是15和60，在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30，假设AB，CD和点M在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为()A20 m B30 m C20 m D30 mB在直角三角形ABM中，AM，在ACM中，CAM301545，AMC1801560105，故ACM1804510530，由正弦定理，故CMAM在直角三角形CDM中，CDCMsin 6030(m)故选B二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分)9在ABC中，b2，B45，若这样的三角形有两个，则边a的取值可以为()A2 B C
6、 D2BC由题意得2a2故选BC10 若ABC中， AB2，ACBC，则SABC的可能取值为()A2 B C2 D3ABC设BCx，则ACx根据三角形的面积公式，得SABCABBCsin Bx根据余弦定理，得cos B将代入，得SABCx由三角形的三边关系，得解得22x22，故当x2时，SABC取得最大值2，故选A 不选D；当x1时，SABC，故选B；当x2时，SABC2 ，故选C，应选ABC11在ABC中，a7，b8，cos B 则()AA BACSABC6 DSABC3AC在ABC中，因为cos B，所以sin B由正弦定理得sin A由题设知B，所以0A，所以A在ABC中，因为sin C
7、sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以SABC786，故选AC12在ABC中，D在线段AB上，且AD5，BD3，若CB2CD，cosCDB，则()AsinCDBBABC的面积为8CABC的周长为84DABC为钝角三角形BCD因为cosCDB，所以sinCDB，故A错误；设CDa，则BC2a，在BCD中，BC2CD2BD22BDCDcosCDB，解得a，所以SDBCBDCDsinCDB33，所以SABCSDBC8，故B正确；因为ADCCDB，所以cosADCcoscosCDB，在ADC中，AC2AD2CD22ADDCcosADC，解得AC2，所以CABCABACBC2284
8、，故C正确；因为AB8为最大边，所以cos C0，即C为钝角，所以ABC为钝角三角形，故D正确 故选BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2b2与c2的大小关系为_a2b2c2cos C，且C为钝角，cos C0，a2b2c20，故a2b20，故cos B，所以B4518(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)若a3c，b，cos B，求c的值；(2)若，求sin(B)的值解(1)因为a3c，b，cos B，由余弦定理cos B，得，即c2所以c(2)因为，由正弦定理，得，所以c
9、os B2sin B从而cos2B(2sin B)2，即cos2B4，故cos2B因为sin B0，所以cos B2sin B0，从而cos B因此sincos B19(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin Acos A2(1)求角A的大小；(2)现给出三个条件：a2；B；cb试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC的面积(写出一种方案即可)解(1)依题意得2sin2，即sin1，0A，A1不成立，这样的三角形不存在20(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处
10、测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解如图所示，设ACD，CDB在CBD中，由余弦定理得cos ，sin 而sin sin(60)sin cos 60sin 60cos 在ACD中，AD15(千米)所以这人还要再走15千米可到达城A21(本小题满分12分)已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，(1)求证：2abc；(2)若cos A，SABC6，求a的值解(1)证明：，2sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A，可得2sin Asin Bsin Acos Bs
11、in Bcos Asin Bsin(AB)sin Bsin C，所以由正弦定理可得2abc(2)cos A，A为三角形内角，sin A又SABC6，6bcsin A，bc20，由余弦定理可得cos A整理得a224，解得a2(负值舍去)22(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，ABD中边BD所对的角为A，BCD中边BD所对的角为C，已知ABBCCD2，AD2(1)试问cos Acos C是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；(2)记ABD与BCD的面积分别为S1和S2，求出SS的最大值解(1)在ABD中，由余弦定理得BD24128cos A168cos A， 在BCD中，由余弦定理得BD2448cos C88cos C，所以168cos A88cos C，则88，所以cos Acos C1，所以cos Acos C为定值1(2)S122sin A2sin A，S222sin C2sin C，则SS12sin2A4sin2C16(12cos2A4cos2C)，由(1)知：cos A1cos C，代入上式得SS1612cos2A4224cos2A8cos A12， 配方得SS2414，所以当cos A时，SS取到最大值14- 12 -