1、2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高一（下）期中数学试卷（理科）一选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1sin45sin105+sin45sin15=（）A0BCD12已知ab0，那么下列不等式成立的是（）AabBa+cb+cC（a）2（b）2D3某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A512个B256个C128个D64个4两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）AakmB akmC2akmD akm5在ABC中，A、B
2、、C所对的边长分别是a、b、c若sinC+sin（BA）=sin2A，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形6已知向量=（1，），=（，x）共线，则实数x的值为（）A1BC tan35Dtan357函数f（x）=sinx+acosx（a0，0）在x=处取最小值2，则的一个可能取值是（）A2B3C7D98数列1，4，7，10，（1）n（3n2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（）A16B14C28D309等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）AB2=ACBA+C=2BCB（BA）=A（CA）DB（BA）=C（CA）10已
3、知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1x），且函数f（x）在1，+）上为单调函数若数列an是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则an的前28项之和S28=（）A7B14C28D5611若数列an的通项公式an=5（）2n24（）n1（nN*），an的最大项为第p项，最小项为第q项，则qp等于（）A1B2C3D412如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，），AOC=，若|BC|=1，则cos2sincos的值为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13在数列中，则实数a=，b=14已知tan
4、=，tan（）=，其中，均为锐角，则=15已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为16已知数列an中，2an，an+1是方程x23x+bn=0的两根，a1=2，则b5=三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知cos（+）=，求的值18已知ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC的面积19已知数列an的前n项和Sn=2n219n+1，记Tn=|a1|+|a2|+|an|（1）求Sn的最小值及相应n的值；（2）求Tn20已知等差数列an，等比数列bn满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3b3=1（）求数列an，bn的通
5、项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn21已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）k在的零点个数22已知点（1，）是函数f（x）=ax（a0且a1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）c，数列bn（bn0）的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1=+（n2）记数列前n项和为Tn，（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若对任意正整数n，当m1，1时，不等式t22mt+Tn恒成立，求实数t的取值范围（3）是否存在正整数m，n，且
6、1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由2015-2016学年安徽省六安市舒城中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1sin45sin105+sin45sin15=（）A0BCD1【考点】两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值【分析】利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解【解答】解：sin45sin105+sin45sin15=cos45cos15+sin45sin15=cos（4515）=cos30=故选：C【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函
7、数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题2已知ab0，那么下列不等式成立的是（）AabBa+cb+cC（a）2（b）2D【考点】不等式的基本性质【分析】由条件求得ab0，从而得到 （a）2（b）2，从而得到结论【解答】解：ab0，ab0，（a）2（b）2，故选C【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题3某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A512个B256个C128个D64个【考点】等比数列的性质【分析】求出经过2小时细菌分裂次数，利用有理数指数幂求解得答案【解答】解：经过2个小
8、时，总共分裂了=6次，则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个故选：D【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题4两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为（）AakmB akmC2akmD akm【考点】解三角形的实际应用【分析】先根据题意确定ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值【解答】解：根据题意，ABC中，ACB=1802040=120，AC=BC=akm，由余弦定理，得cos120=，解之得AB=akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D【点评】
9、本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题5在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c若sinC+sin（BA）=sin2A，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA（sinAsinB）=0，分别可得A=，或a=b，可得结论【解答】解：sinC+sin（BA）=sin2A，sin（A+B）+sin（BA）=sin2A，sinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA=sin
10、2A，2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，2cosA（sinAsinB）=0，cosA=0，或sinA=sinB，A=，或a=b，ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题6已知向量=（1，），=（，x）共线，则实数x的值为（）A1BC tan35Dtan35【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】先根据向量的共线得到x=，再利用诱导公式和二倍角公式化简即可【解答】解：向量=（1，），=（，x）共线，x=，故选：B【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础
11、题7函数f（x）=sinx+acosx（a0，0）在x=处取最小值2，则的一个可能取值是（）A2B3C7D9【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用【分析】先根据函数的最小值求得a的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得的值【解答】解：函数f（x）=sinx+acosx（a0，0）在x=处取最小值2，sin+acos=2，a=，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）再根据f（）=2sin（+）=2，可得+=2k+，kZ，=12k+7，k=0时，=7，则的可能值为7，故选：C【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8数列1，4，7，10
12、，（1）n（3n2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（）A16B14C28D30【考点】数列的求和【分析】由an=（1）n（3n2），利用分组求和法和等差数列求和公式能求出S11+S20【解答】解：an=（1）n（3n2），S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）=（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）=16，S20=（a1+a3+a19）+（a2+a4+a20）=（1+7+55）+（4+10+58）=+=30，S11+S20=16+30=14故选：B【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用9等比数列
13、的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）AB2=ACBA+C=2BCB（BA）=A（CA）DB（BA）=C（CA）【考点】等比数列的前n项和【分析】讨论公比是否是1，从而分别求A，B，C，从而判断选项是否成立即可【解答】解：若公比q=1，则B，C成立；故排除A，D；若公比q1，则A=Sn=，B=S2n=，C=S3n=，B（BA）=（）=（1qn）（1qn）（1+qn）A（CA）=（）=（1qn）（1qn）（1+qn）；故B（BA）=A（CA）；故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力10已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（
14、1+x）=f（1x），且函数f（x）在1，+）上为单调函数若数列an是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则an的前28项之和S28=（）A7B14C28D56【考点】数列的求和【分析】函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1x），且函数f（x）在1，+）上为单调函数可得：函数f（x）关于直线x=1对称，数列an是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），可得a6+a23=2再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1x），且函数f（x）在1，+）上为单调函数函数f（x）关于直线x=1对称，数列an是公差
15、不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），a6+a23=2则an的前28项之和S28=14（a6+a23）=28故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11若数列an的通项公式an=5（）2n24（）n1（nN*），an的最大项为第p项，最小项为第q项，则qp等于（）A1B2C3D4【考点】数列的函数特性【分析】设=t（0，1，an=5（）2n24（）n1（nN*），可得an=5t24t=，利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：设=t（0，1，an=5（）2n24（）n1（nN*），an=5t24t=，an，当且
16、仅当n=1时，t=1，此时an取得最大值；同理n=2时，an取得最小值qp=21=1，故选：A【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，），AOC=，若|BC|=1，则cos2sincos的值为（）ABCD【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cos（）、sin（）的值，可得cos和sin的值，从而求得所给式子的值【解答】解：|BC|=1，点B的坐标为（，），故|OB|=1，BOC为等边三角形，BOC=
17、，又AOC=，AOB=，cos（）=，sin（）=，sin（）=cos=cos（）=coscos（）+sinsin（） =+=，sin=sin（）=sincos（）cossin（）=cos2sincos=（2cos21）sin=cossin=，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13在数列中，则实数a=，b=【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由不完全归纳法知ab=26，a+b=15，从而解得【解答】解：由5，10，17，ab，37知，ab=26，由3，8，a+b，24，35知，a+b=15，解得，a=，
18、b=；故答案为：，【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用14已知tan=，tan（）=，其中，均为锐角，则=【考点】两角和与差的正切函数【分析】根据两角差的正切公式计算即可得解tan=1，结合角的范围即可得解【解答】解：tan=，均为锐角，tan（）=，解得：tan=1，=故答案为：【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题15已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为AG【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】由等差中项和等比中项可得A、G，由基本不等式可得大小关系【解答】解：由题意可得A=，G=，由基
19、本不等式可得AG，当且仅当a=b取等号，由题意a，b是互异的负数，故AG故答案是：AG【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题16已知数列an中，2an，an+1是方程x23x+bn=0的两根，a1=2，则b5=1054【考点】数列递推式【分析】2an，an+1是方程x23x+bn=0的两根，利用根与系数的关系可得：2an+an+1=3，2anan+1=bn，由a1=2，可得a2=1，同理可得a3=5，a4=7，a5=17，a6=31即可得出【解答】解：2an，an+1是方程x23x+bn=0的两根，2an+an+1=3，2anan+1=bn，a1=2，a2=1，同理
20、可得a3=5，a4=7，a5=17，a6=31则b5=217（31）=1054故答案为：1054【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知cos（+）=，求的值【考点】三角函数的化简求值【分析】求出sin（+），从而sin+cos的值，由cos（+），得cossin的值，由此得到正弦函数与余弦函数点值，进而能求出的值【解答】解：， +（，），cos（+）=，sin（+）=，sin（+）=sincos+cossin=（cos+sin）=，sin+cos=，cos（+）=coscossinsin=（c
21、oscos）=，cossin=，联立，得cos=，sin=，=【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用18已知ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（nN+），由边角关系可得C=2A，由正弦定理和余弦定理列出方程，求出n、三边、cosA的值，由平方关系求出sinA，代入三角形面积公式即可求出ABC的面积【解答】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（nN+），最大角是最小角的2倍，C=2A，由正弦定理得，则，得cosA=
22、，由余弦定理得，cosA=，=，化简得，n=4，a=4、b=5、c=6，cosA=，又0A，sinA=，ABC的面积S=【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题19已知数列an的前n项和Sn=2n219n+1，记Tn=|a1|+|a2|+|an|（1）求Sn的最小值及相应n的值；（2）求Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）Sn=2n219n+1=2，利用二次函数的单调性即可得出（2）由Sn=2n219n+1，n=1时，a1=16n2时，an=SnSn1=4n21由an0，解得n5n6时，an0可得n5时，
23、Tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+an）=Snn6时，Tn=（a1+a2+a5）+a6+an=2S5+Sn【解答】解：（1）Sn=2n219n+1=2，n=5时，Sn取得最小值=44（2）由Sn=2n219n+1，n=1时，a1=219+1=16n2时，an=SnSn1=2n219n+12（n1）219（n1）+1=4n21由an0，解得n5n6时，an0n5时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+a2+an）=Sn=2n2+19n1n6时，Tn=（a1+a2+a5）+a6+an=2S5+Sn=2n219n+89Tn=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式
24、、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题20已知等差数列an，等比数列bn满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3b3=1（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】（I）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2，2a3b3=1可得1+d=q，2（1+2d）q2=1，解出即可得出（II）当时，cn=anbn=1，Sn=n当时，cn=anbn=（2n1）3n1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答
25、】解：（I）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q：a1=b1=1，a2=b2，2a3b3=11+d=q，2（1+2d）q2=1，解得或an=1，bn=1；或an=1+2（n1）=2n1，bn=3n1（II）当时，cn=anbn=1，Sn=n当时，cn=anbn=（2n1）3n1，Sn=1+33+532+（2n1）3n1，3Sn=3+332+（2n3）3n1+（2n1）3n，2Sn=1+2（3+32+3n1）（2n1）3n=1（2n1）3n=（22n）3n2，Sn=（n1）3n+1【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力
26、，属于中档题21已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）k在的零点个数【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象【分析】（1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin（+）+，根据正弦函数的性质求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求得y=g（x）k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在的上有交点，可得实数k的取值范围【解答】解：（1）向量=（，1），=（
27、cos，），记f（x）=f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，最小正周期T=4，2k+2k+，则4kx4k+，kZ故函数f（x）的单调递增区间是4k，4k+，kZ；（2）将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin（x+）+ =sin（）+，则y=g（x）k=sin（x）+k，x0，可得：x，sin（x）1，0sin（x）+，若函数y=g（x）k在0，上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在0，上有交点，实数k的取值范围是0，当k0或k时，函数y=g（x）k在的零点个数是0；当0k1时，函数y=g（x）k在的零点个数是2；
28、当k=0或k=时，函数y=g（x）k在的零点个数是1【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力22已知点（1，）是函数f（x）=ax（a0且a1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）c，数列bn（bn0）的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1=+（n2）记数列前n项和为Tn，（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若对任意正整数n，当m1，1时，不等式t22mt+Tn恒成立，求实数t的取值范围（3）是否存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由
29、【考点】数列与函数的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定【分析】（1）因为点是函数f（x）=ax的图象上一点，所以a=，所以f（x）=，即可得到数列的前3项，进而求出数列的首项与公比，即可得到数列an的通项公式；因为=，所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以得到Sn，利用bn=SnSn1求出答案（2）利用裂项相消的方法可得：Tn=；进而把原不等式化简为：当m1，1时，不等式t22mt0恒成立；设g（m）=2tm+t2，m1，1，然后利用函数的有界性解决恒成立问题即可得到答案（3）利用T1，Tm，Tn成等比数列，得Tm2=T1Tn得到，最后结合1mn知，m=2，
30、n=12即可【解答】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=，所以，a2=f（2）cf（1）c=，a3=f（3）cf（2）c=因为数列an是等比数列，所以，所以c=1又公比q=，所以；由题意可得： =，又因为bn0，所以；所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有；当n2时，bn=SnSn1=2n1；所以bn=2n1（2）因为数列前n项和为Tn，所以 =；因为当m1，1时，不等式恒成立，所以只要当m1，1时，不等式t22mt0恒成立即可，设g（m）=2tm+t2，m1，1，所以只要一次函数g（m）0在m1，1上恒成立即可，所以，解得t2或t2，所以实数t的取值范围为（，2）（2，+）（3）T1，Tm，Tn成等比数列，得Tm2=T1Tn，结合1mn知，m=2，n=12【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题