1、5 正弦函数的图像与性质 5.1 正弦函数的图像 1.能够利用正弦线根据描点法作出y=sin x,xR的图像.2.掌握“五点法”作图,并能利用此法作出正弦函数在0,2上的简图.3.能根据正弦函数的图像求满足条件的角的范围.4.能结合函数的图像理解正弦函数的性质.正弦函数的图像(1)图像:正弦函数y=sin x,xR的图像,又称为正弦曲线,如图.(2)画法:在平面直角坐标系中描出五个关键点:然后根据正弦曲线的基本形状,用光滑曲线将这五个点连接起来,得到正弦函数的简图,这种画正弦曲线的方法称为“五点法”.(0,0),2,1,(,0),32,-1,(2,0).名师点拨用五点法只能画出y=sin x在
2、一个周期0,2上的图像.若xR,可先画出y=sin x,x0,2的图像,再通过左右平移可得y=sin x,xR的图像.【做一做2】用五点法画y=sin x,x0,2的图像时,下列各点不是关键点的是()答案:AA.6,12 B.2,1 C.(,0)D.(2,0)【做一做1】用五点法画y=sin x,x0,2的图像时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为()答案:A A.B.2C.2 D.32题型一 题型二 题型三 x02 322y=sin x010-10y=2sin x-1-11-1-3-1题型一 用五点法作函数 y=Asin x+b(A0)的简图 【例1】画出函数y=2sin x-1,x0,2
3、的简图.分析:用五点法画图.解:步骤:列表:描点:在平面直角坐标系中描出(0,-1),2,1,(,1),32,-3,(2,1)五个点.题型一 题型二 题型三 连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,得函数y=2sin x-1,x0,2的简图,如图.题型一 题型二 题型三 反思用五点法画函数y=Asin x+b(A0)在0,2上的简图的步骤.(1)列表:x 0 2 32 2 y=sin x 0 1 0-1 0 y=Asin x+b b A+b b-A+b b (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),2,+,32,-+,(2,)五个点.题型一
4、 题型二 题型三【变式训练 1】函数 y=-sin x,x-2,32 的简图是()解析:用特殊点来验证.当x=0时,y=-sin 0=0,排除选项A,C;又当 x=2 时,y=-sin -2=1,排除选项B.答案:D 题型一 题型二 题型三 题型二 根据正弦函数的图像求角的范围 【例2】求符合下列条件的角的范围,并用集合表示出来.(1)sin 22;(2)sin 12.题型一 题型二 题型三 解:(方法一)(1)作直线 y=22 交单位圆于A,B 两点,连接 OA,OB,则OA 与 OB 围成的区域(如图中阴影部分(包含边界)即为角 的范围.故满足条件的角 的集合为 2+4 2+34,Z.图
5、图题型一 题型二 题型三(2)作直线 y=12 交单位圆于C,D 两点,连接 OC,OD,则 OC 与 OD围成的区域(如图中阴影部分(包含边界)即为角 的范围.故满足条件的角 的集合为 2+76 2+116,Z.题型一 题型二 题型三(方法二)如图,作出函数 y=sin,R 的图像及直线 y=22与y=12.在区间0,2内,满足 sin 22 的角 的范围为434,所以由正弦函数的周期性,知满足 sin 22 的角 的集合为 2+4 2+34,Z.同理,满足 sin 12 的角 的集合为 2+76 2k+116,.图题型一 题型二 题型三【变式训练 2】利用正弦曲线,求满足12 sin 32
6、 的的取值范围.解:作出y=sin x在0,2上的图像(如图所示).作出直线 y=12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与 y=sin x,x0,2的图像的交点的横坐标为6 和56;题型一 题型二 题型三 作出直线 y=32,可知该直线与y=sin x,x0,2的图像的交点的横坐标为3 和23.则12 sin x 32 在x0,2上的解集为 6,3 23,56 .由正弦函数的周期性可知,不等式12 sin x 32 的解集为 2+6,2+3 2+23,2+56 (Z).题型一 题型二 题型三 题型三正弦曲线的应用【例3】判断方程x+sin x=0的根的个数.分析:转化为判断函数y=-x和y=si
7、n x的图像的交点个数.解:在同一平面直角坐标系中画出y=-x和y=sin x的图像,如图所示.由图知y=-x和y=sin x的图像仅有一个交点,则方程x+sin x=0仅有一个根.反思关于方程根的个数问题,往往运用数形结合法构造函数,转化为函数图像交点的个数问题求解.题型一 题型二 题型三【变式训练3】将例3中的方程改为“x2-sin x=0”,试判断该方程根的个数.解:在同一平面直角坐标系中画出y=x2和y=sin x的图像,如图所示.由图知y=x2和y=sin x的图像有两个交点,则方程x2-sin x=0有两个根.1 2 3 4 5 1.用五点法画y=2sin x的图像时,首先描出的五
8、个点的横坐标是()答案:AA.0,2,32,2 B.0,4,2,34,C.0,2,3,4D.0,6,3,2,231 2 3 4 5 2.函数y=1-sin x,x0,2的大致图像是()答案:B1 2 3 4 5 3.利用五点法画函数 y=2 12 sin,0,2的简图时,所取的五点分别为.答案:(0,2),2,32,(,2),32,52,(2,2)1 2 3 4 5 4.函数y=sin x,x0,2的图像上最高点与相邻最低点之间的距离为 .答案:2+41 2 3 4 5 5.用五点法画出函数y=2-sin x,x0,2的图像.解:列表如下:在平面直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如图.x 0 2 32 2 y=sin x 0 1 0-1 0 y=2-sin x 2 1 2 3 2