1、2016-2017学年天津市静海一中高三（下）4月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合A=1，1，2，B=a+1，a22，若AB=1，2，则a的值为（）A2或1B0或1C2或1D0或22已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A2，10）B（2，10C6，10D（6，103在ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）ABCD4已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（）A2或2B1或2C2或1D1或25“|x+1|+|x2|5”是“2x3”的（）A充分不必要条
2、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知A、B分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则ABP的度数为（）A30B60C120D30或1207如图，在平行四边形ABCD中，BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足=，其中0，1，则的取值范围是（）A3，1B3，1C1，1D1，38设函数f（x）=，若对任意给定的y（2，+），都存在唯一的xR，满足f（f（x）=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A2BCD4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9已知=1+i，则|z
3、|= 10若二项展开式中的前三项的系数成等差数列，则常数项为 （用数字作答）11已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm312在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式=4cos，则圆C的圆心到直线l的距离为 13曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为 14已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共50分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15已知函数f（x）=2sin（ax）cos
4、（ax）+2cos2（ax）（a0），且函数的最小正周期为（）求a的值；（）求f（x）在0，上的最大值和最小值16理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析（）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 物理成绩 65 70 75 81 85 87 93 化学成绩 72 68 80 85 90 86 91规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列
5、和数学期望17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的大小18已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn为bn的前n项和，求T2n19已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（）求椭圆方程；（）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若ABP为等边三角形，求直线l的方程20设函数f（x）=x2+alnx，（a0）（1）若函数f（x）的图象在点（
6、2，f（2）处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2（1a）x，当a1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数2016-2017学年天津市静海一中高三（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合A=1，1，2，B=a+1，a22，若AB=1，2，则a的值为（）A2或1B0或1C2或1D0或2【考点】1E：交集及其运算【分析】由交集定义得到或，由此能求出a的值【解答】解：集合A=1，1，2，B=a+1，a22，AB=1，2，或，解得a=2或a=1故选：A2
7、已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A2，10）B（2，10C6，10D（6，10【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，2），此时zmax=342=10；当直线y=3x+z过点B时，由，解得B（0，2），故z302=2综上，z=3x+y的取值范围为（2，10故选：B3在ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）ABCD【考点
8、】HR：余弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值【解答】解：在ABC中，AB=4，AC=BC=3，cosC=，sinC=故选：D4已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（）A2或2B1或2C2或1D1或2【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值【解答】解：由题意，或x=1或2故选D5“|x+1|+|x2|5”是“2x3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件
9、与充要条件的判断【分析】对x分类讨论，解出不等式|x+1|+|x2|5，即可判断出结论【解答】解：由|x+1|+|x2|5，x2时，化为2x15，解得2x3；1x2时，化为x+1（x2）5，化为：35，因此1x2；x1时，化为x1x+25，解得2x1综上可得：2x3“|x+1|+|x2|5”是“2x3”的充要条件故选：C6已知A、B分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则ABP的度数为（）A30B60C120D30或120【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2y2=a2，利用ABP为等
10、腰三角形，分类讨论，即可求出ABP的度数【解答】解：双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，设P（m，n），则，m=2a，PBx=60，ABP=120；若|AB|=|AP|=2a，设P（m，n），则，m=2a，PAB=120，ABP=30，故选D7如图，在平行四边形ABCD中，BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足=，其中0，1，则的取值范围是（）A3，1B3，1C1，1D1，3【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出，的坐标，然后通过二次函
11、数的单调性，求出数量积的范围【解答】解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）满足=，0，1，=+=+（1）=+（1）=（，）+（1）（2，0）=（2，）；=+=+（1）=（2，0）+（1）（，）=（，（1），则=（2，）（，（1）=（2）（）+（1）=2+3=（+）2，因为0，1，二次函数的对称轴为：=，则0，1为增区间，故当0，1时，2+33，1故选：B8设函数f（x）=，若对任意给定的y（2，+），都存在唯一的xR，满足f（f（x）=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（）A2BCD4【考点】3H：函数的最值及其几何意
12、义【分析】由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的xR，满足f（f（x）=2a2y2+ay，可得f（f（x）1，即f（x）2，进一步转化为2a2y2+ay1，y（2，+），求解不等式得到y的范围，进一步得到a的范围得答案【解答】解：函数f（x）=的值域为Rf（x）=2x，（x0）的值域为（0，1；f（x）=log2x，（x0）的值域为Rf（x）的值域为（0，1上有两个解，要想f（f（x）=2a2y2+ay在y（2，+）上只有唯一的xR满足，必有f（f（x）1 （2a2y2+ay0）f（x）2，即log2x2，解得：x4当x4时，x与f（f（x）存在一一对应的关系问题转化为2a2y2+ay1
13、，y（2，+），且a0（2ay1）（ay+1）0，解得：y或者y（舍去）2，得a故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9已知=1+i，则|z|=【考点】A8：复数求模【分析】求出复数z，运用复数商的模为模的商，结合模的公式计算即可得到所求【解答】解： =1+i，可得z=，即有|z|=|=|=故答案为：10若二项展开式中的前三项的系数成等差数列，则常数项为（用数字作答）【考点】DC：二项式定理的应用【分析】由题意利用等差数列的性质求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项【解答】解：二项展开式中的前三项的系数分别为、，若二项展开式中的前
14、三项的系数成等差数列，则2=+，求得n=8，或 n=1（舍去），展开式的通项公式为Tr+1=x82r，令82r=0，求得r=4，可得常数项为=，故答案为：11已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为20cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为V=344234=20cm3故答案为：2012在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆
15、C的极坐标方程式=4cos，则圆C的圆心到直线l的距离为【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为xy+1=0，圆=4cos 即2=4cos，即 x2+y2+4x=0，即 （x+2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆圆C的圆心到直线l的距离为=，故答案为13曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出导数和切线的斜率，可
16、得切线的方程，根据题意画出区域，然后依据图形，利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：y=x2在（2，1）点处的切线l，则y=x，直线l的斜率k=y|x=2=1，直线l的方程为y1=x2，即y=x1，当y=0时，x1=0，即x=1，所围成的面积如图所示：S=x2dx11=x3|=故答案为：14已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（0，4）【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】作出f（x）的函数图象，根据函数图象即可得出m的范围【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知：当0m4时，f（x）
17、=m有5个解；故答案为：（0，4）三、解答题：本大题共6小题，共50分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15已知函数f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（ax）（a0），且函数的最小正周期为（）求a的值；（）求f（x）在0，上的最大值和最小值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】（）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求a的值（）x0，时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值【解答】解：（）函数f（x）=2sin（ax）cos（ax）+2cos2（
18、ax）（a0），化简可得：f（x）=sin（2ax）+cos（2ax）+1=cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax+）+1函数的最小正周期为即T=由T=，可得a=2a的值为2故f（x）=2sin（4x+）+1；（）x0，时，4x+0，当4x+=时，函数f（x）取得最小值为=1当4x+=时，函数f（x）取得最大值为21+1=3f（x）在0，上的最大值为3，最小值为116理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析（）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表： 学生序号
19、 1 2 3 4 5 6 7 物理成绩 65 70 75 81 85 87 93 化学成绩 72 68 80 85 90 86 91规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人利用组合数的意义即可得出（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可
20、能取值为0，1，2，3，可得P（X=k）=，即可得出分布列与数学期望计算公式【解答】解：（）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人可以得到个不同的样本（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3，则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=其X分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望E（X）=0+1+2+3=17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=
21、AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的大小【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（I）由题意利用线面PA底面ABCD得线线PACD，进而得线面CD平面PAC，即可得证；（II）由题意可得AEPC，由（I）知，AECD，进而得到AE平面PCD，在由线线垂直得PD平面ABE；（III）因为AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD因此AME是二面角APDC的平面角，然后再在三角形中求出即可【解答】解：（I）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACDACC
22、D，PAAC=A，CD平面PAC而AE平面PAC，AECD（II）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得AC=PAE是PC的中点，AEPC由（I）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，综上得PD平面ABE（III）过点A作AMPD，垂足为M，连接EM由（II）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD因此AME是二面角APDC的平面角由已知，得CAD=30设AC=a，可得在RtADP中，AMPD，AMPD=PAAD则在RtAEM中，所以二面角APDC
23、的大小是18已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn为bn的前n项和，求T2n【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（I）等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42可得a3=a42a2，a2q=a2（q22），解得q进而得出a1，可得an（II）n为奇数时，bn=n为偶数时，bn=分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和【解答】解：（I）等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42a3=a42a2，可
24、得a2q=a2（q22），q2q2=0，解得q=2a1+a2=2a22，即a1=a22=2a12，解得a1=2an=2n（II）n为奇数时，bn=n为偶数时，bn=T2n=+=+=+设A=+，则A=+，A=+=，A=T2n=+19已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（）求椭圆方程；（）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若ABP为等边三角形，求直线l的方程【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知条件得c=2，a2=b2+c2，由此能求出椭圆方程（）直线l的方程为y=k（x2）联立方程组，得（3k2+1）x212k2x+12k26=
25、0由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线l的方程【解答】解：（）椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为c=2，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2椭圆方程为 （）直线l的方程为y=k（x2）联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0设A（x1，y1），B（x2，y2）故，则|AB|=|=设AB的中点为M（x0，y0）可得，直线MP的斜率为，又 xP=3，所以当ABP为正三角形时，|MP|=，解得k=1直线l的方程为xy2=0，或x+y2=020设函数f（x）=x2+alnx，（a0）（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线
26、斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2（1a）x，当a1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令F（x）=f（x）g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可【解答】解：（1）函数f（x）=x2+a
27、lnx的导数为f（x）=x+，由函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线斜率为，可得2+=，解得a=3；（2）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当a0时，f（x）=，当0x时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x时，f（x）0，函数f（x）单调递增综上，当a0时，f（x）的增区间是（，+），减区间是（0，）；（3）令F（x）=f（x）g（x）=x2+alnxx2+（1a）x=x2+（1a）x+alnx，x0，问题等价于求函数F（x）的零点个数当a1时，F（x）=x+1a+=，当a=1时，F（x）0，F（x）递减，由F（3）=+6ln3=ln30，F（4）=8+8ln40，由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；当a1时，即a1时，F（x）在（0，1）递减，（1，a）递增，（a，+）递减，由极小值F（1）=+（1a）+aln1=a0，极大值F（a）=a2+a2a+aln（a）=a2a+aln（a）0，由x+时，F（x），可得F（x）存在一个零点综上可得，当a1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为12017年7月28日