1、课时作业53椭圆一、选择题1(2014浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|4，则F1PF2()A30B60C120 D150解析：由题意得a3，c，则|PF2|2.在F2PF1中，由余弦定理得cosF2PF1.又F2PF1(0，)，F2PF1.答案：C2(2014河北邯郸一模)椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A7倍 B5倍C4倍 D3倍解析：设线段PF2的中点为D，则|OD|PF1|，ODPF1，ODx轴，PF1x轴|PF1|.又|PF1|PF2|4，|PF2|4.|PF2|是|
2、PF1|的7倍答案：A3(2014北京丰台期末)在同一平面直角坐标系中，方程ax2by2ab与方程axbyab0表示的曲线可能是()ABCD解析：直线方程变形为yxa，在选项B和C中，解得所以ax2by2ab表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故B和C都是错误的；在选项A中，解得所以ax2by2ab表示的曲线是椭圆；在选项D中，解得所以ax2by2ab不可能表示双曲线，故选项D错误答案：A4(2014福建福州期末)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A. B.C.或 D.或解析：因为已知实数4，m,9构成一个等比数列，所以可得m236，解得m6或m6.当圆锥曲线为椭
3、圆时，即y21的方程为y21.所以a26，b21，则c2a2b25.所以离心率e.当是双曲线时可求得离心率为.答案：C5(2014河北唐山二模)已知椭圆C1：1(ab0)与圆C2：x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：从椭圆上长轴端点向圆引两条切线PA，PB，则两切线形成的角APB最小若椭圆C1上存在点P.令切线互相垂直，则只需APB90，即APO45，sinsin45.又b2a2c2，a22c2，e2，即e.又0e1，e1，即e.答案：C6(2014大纲全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、
4、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：1(ab0)的离心率为，abc3.又过F2的直线l交椭圆于A，B两点，AF1B的周长为4，4a4，a.故c1，b，椭圆方程为1，选A.答案：A二、填空题7(2014江西卷)设椭圆C：1(ab0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_解析：由题意知F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，因为过F2且与x轴垂直的直线为xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于
5、y轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又ADF1B，所以kADKF1B1，即1，整理得b22ac，所以(a2c2)2ac，又e，0e1，所以e22e0，解得e(e舍去)答案：8(2014四川绵阳二诊)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的任意一点，若PF1F2，PF2F1，且cos，sin()，则此椭圆的离心率为_解析：cossin，所以sinsin ()sin()coscos()sin，sin或(舍去)设|PF1|r1，|PF2|r2，由正弦定理，得e.答案：9(2014辽宁卷)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦
6、点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.答案：12三、解答题10(2014北京卷)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中
7、x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.11(2014天津卷)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|2.求椭圆的方程解析：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，
8、则.所以，椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.因为点P在椭圆上，故1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.由已知，有|TF2|2|MF2|2r2，又|MF2|2，故有228c2，解得c23.所以，所求椭圆的方程为1.12(2014安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭
9、圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解析：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e.