1、6.1.3 向量的减法 第六章 平面向量初步 学习目标 1.理解相反向量、差向量的概念.2.掌握向量减法的三角形法则.重点：向量减法的运算法则.难点：对向量形式的三角不等式的理解.知识梳理 一、向量的减法 1.向量减法的三角形法则【思考】已知向量 AD是向量 AB与向量 x 的和，如图所示，你能作出表示向量 x 的有向线段吗？提示：如图所示，+=，=.一般地，平面上任意给定两个向量，如果向量能够 满足+，则称为向量与的差，并记作 .不难看出，在平面内任取一点，作，作出向量，注意到+，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即-.当与不共线时，求 的差可用下图表示，此时向量,，正好能构成
2、一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.向量减法的三角形法则在，共线时也成立，如下图所示.与同向 与反向 记忆口诀：共起点，连终点，指向被减.类似于3的相反数是-3，给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量的相反向量记作.因此，的相反向量是，而且.2.相反向量因为零向量的始点与终点相同，所以.不难看出，任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即+（），+（-）.如同在数的运算中，减法可以看成加法的逆运算，即 +（）一样，不难看出，向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算，即 +（），也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量
3、加上第二个向量的相反向量.【点拨】向量减法的第二种定义方法是在定义相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，用向量加法的平行四边形法则给出其几何意义.两种定义方法的实质是一样的，但相对于其几何表示来看，第二种定义方法更直观、更易理解.但第一种定义方法在实际学习中应用更广泛.二、非零向量、的和（差）的三角不等式 上节课我们学习了向量和的三角不等式：|+|+|.对于向量的差，也有类似的三角不等式：|+|.（1）如图所示，当，不共线时，作，则 .根据三角形边长的不等关系知|，则 与，同向，且|；若|，则 与，反向，且|.（3）当，共线且反向时，与同向，与反向，且|+|.因此，对于任意两个非零向量，
4、总有下列向量不等式成立：|+|.一、向量的减法运算 常考题型 例12019贵州铜仁一中高一检测化简下列各式：（1）（ABuuur+MBuuur）+（-OBuuur-MOuuur）；（2）ABuuur-ADuuur-DCuuur.（1）【解法1】原式 ABuuur+MBuuur+BOuuur+OMuuur（ABuuur+BOuuur）+（OMuuur+MBuuur）AOuuur+OBuuur ABuuur.【解法2】原式 ABuuur+MBuuur+BOuuur+OMuuur ABuuur+（MBuuur+BOuuur）+OMuuur ABuuur+MOuuur+OMuuur ABuuur+0
5、ABuuur.【解法3】设O是平面内任一点，则 原式（OBuuur-OAuur）+（OBuuur-OMuuur）-OBuuur-MOuuurOBuuur-OAuur+OBuuur-OMuuur-OBuuur+OMuuur OBuuur-OAuur ABuuur.（2）【解法1】原式 DBuuur-DCuuurCBuur.【解法2】原式 ABuuur-（ADuuur+DCuuur）ABuuur-ACuuurCBuur.【解法3】设O是平面内任一点，则 原式（OBuuur-OAuur）-（ODuuur-OAuur）-（OCuuur-ODuuur）OBuuur-OAuur-ODuuur+OAuur-
6、OCuuur+ODuuurOBuuur-OCuuurCBuur.向量减法运算的常用方法（1）可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.（2）运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点.（3）引入点，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一.向量加减法化简的两种形式（1）首尾相连且为和；（2）起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.训练题1.2019吉林普通高中友好学校联合体高一联考化简 ABuuur+ACuuur-BCuuur+BAuur（）A.3ABuuur B.ABuuur C.BAuur D.CAuur 2.2018安徽淮南田家庵区
7、月考化简 ACuuur-BDuuur+CDuuur-ABuuur （）A.ABuuur B.BCuuur C.DAuuur D.0 3.2019山东德州期末在平行四边形ABCD中，ABuuur+DAuuur-CBuur等于（）A.BCuuur B.DCuuur C.BAuur D.ACuuur BDB4.化简：（1）（ABuuur-CDuuur）-（ACuuur-BDuuur）；（2）（ACuuur+BOuuur+OAuur）-（DCuuur-DOuuur-OBuuur）.解：（1）（AB-CD）-（AC-BD）（AB+BD）-（AC+CD）AD-AD.（2）（AC+BO+OA）-（DC-DO
8、-OB）（AC+BA）-（OC-OB）BC-BC.二、用已知向量表示其他向量 例 2 2019江苏泰州中学高一月考如图所示，在五边形 ABCDE中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且 ABuuur，ACuuurb，AEuuur，试用表示向量 BDuuur，BEuuur，CEuuur.【解】四边形ACDE为平行四边形，CDuuur AEuuur，BCuuur ACuuur-ABuuur，BDuuur BCuuur+CDuuur，BEuuur AEuuur-ABuuur，CEuuur AEuuur-ACuuur.利用已知向量表示其他向量的思路 1.解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向
9、量加法、减法和共线（相等）向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和（差），即 AMuuur ABuuur+BMuuur以及 ABuuur NBuuur-NAuur（M，N均是同一平面内的任意点）.2.用已知向量表示某向量的基本步骤 第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果.训练题1.2019安徽宿州埇桥区高一检测在平行四边形ABCD中，设，下列等式中不正确的是（）A.+B.C
10、.D.B2.如图所示，解答下列各题：（1）用，表示；（2）用，表示；（3）用，表示；（4）用，表示.解：由题意知，AB，BC ，CD，DE ，EA，则（1）DB DE+EA+AB（2）DBCB-CD-BC-CD（3）EC EA+AB+BC （4）EC-CE-（CD+DE）三、向量的加减运算及模的综合应用 例3 已知非零向量，满足|7+1，|b|7-1，且|4，求|+|的值.【解】如图所示，设 OAuur，OBuuur，则|BAuur|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OCuuur|.由（7+1）2+（7-1）242，得|OAuur|2+|OBuuur|2|BAuur|2，所以OAB
11、是AOB为90的直角三角形，所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等得|OCuuur|BAuur|4，即|4.【归纳总结】向量+，的几何意义在证明、运算中具有重要的作用，应引起重视.另外，对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质，要熟悉并会应用.训练题2019北京师范大学附属中学高一检测已知正方形 的边长为1，设=，=，=,则|+|.2四、利用向量解决平面几何问题 例4 已知非零向量，同时满足|和|+|，若作，+，试判断四边形的形状，并证明.【解题提示】首先根据向量加法的平行四边形法则可知四边形是平行四边形，其次根据条件|可知四边形是菱形，再由条件|+|进一步可知它是正方形
12、.【解】四边形是正方形.证明如下：作，并且以，为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则可知+，.由|可 知，四 边 形 是 菱 形，再 由|+|可知，四边形是正方形.用向量解决平面几何问题的基本步骤（1）表示：建立平面几何与向量的联系，用向量表示几何图形中的相关量，将平面几何问题转化为向量问题.（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，对相关向量进行运算，建立向量关系.（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念求解几何问题.1.已知点是四边形所在平面上任一点，且|-|-|，则四边形一定为（）A.菱形 B.任意四边形 C.矩形 D.平行四边形 2.在 中，若|-
13、|，则 的形状为 三角形.D训练题等边3.如图，求证：（1）若G为ABC的重心，则+；（2）已知G为ABC内一点，若+，则点G为ABC的重心.证明：（1）如图，延长GF到点P，使FPGF，连接AP，BP.G为ABC的重心，F为AB的中点，四边形APBG为平行四边形，且-.由平行四边形法则，知+，+.（2）如图，作平行四边形APBG，设对角线AB与PG交于点F，则+，即与是相反向量，C，G，F，P四点共线.又F是AB的中点，G在ABC的中线CF上，同理可证，点G也在ABC的另外两条中线上.点G为ABC的重心.小结 1.怎样理解向量减法的几何意义？（1）相反向量：大小相等，方向相反的两个向量互为相
14、反向量.（2）几何意义：由于向量与的差即向量与的相反向量的和，于是在平面内任取一点，分别作向量，并以，为邻边作平行四边形（如图（1）所示），显然，由三角形法则得 +（）+.再回到 中，如图（2）所示，向量就是向量与的差.图（1）图（2）（3）三角形法则：使两向量的起点移到同一点，这时连接两个向量的终点并指向被减向量的向量即为两个向量的差向量.2.如何化简向量的和差式？对向量和差式的化简通常采用以下的方法与技巧：（1）加法：首尾连，起点到终点，如ABuuur+BCuuur+CDuuurADuuur.（2）减法：共起点，连终点，指被减，如 ABuuur-ACuuurCBuur.（3）化“减”为“加”：如 ABuuur-CBuur ABuuur+BCuuur ACuuur.（4）化“和”为0：相反向量的和为0.