1、第一章 统 计4 数据的数字特征41 平均数、中位数、众数、极差、方差42 标准差自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1熟练掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念2会根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息.1平均数(1)平均数的定义如果有 n 个数 x1、x2、xn，那么 x _，叫作这 n 个数的平均数(2)平均数的分类总体平均数：_所有个体的平均数叫总体平均数样本平均数：_所有个体的平均数叫样本平均数x1x2xnn总体中样本中2中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最_位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数3众数一组数据中重复出现次数_的
2、数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是_，也可以是_中间最多一个多个练一练：(1)已知一组数据 10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数中位数平均数解析：中位数、平均数、众数都是 50，故选 D答案：D4极差一组数据的_与_的差称为这组数据的极差5方差(1)方差的定义在 一 组 数 据x1，x2，xn 中，各 数 据 与_的平均数，叫作这组数据的方差，通常用“s2”表示最大值最小值它们平均数 x 的差的平方(2)方差的计算方法s2_.1n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)21n(x21
3、x22x2n)n x 21n(x21x22x2n)x 26标准差(1)标准差的定义方差的_称为标准差(2)标准差的计算方法s s2 _.算术平方根x1 x 2x2 x 2xn x 2n练一练：(2)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A 3B2 105C3 D85解析：平均数是5204103302301101003，标准差是 s2053210432303323023210132100 80103040100852 105，故选 B答案：B7数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的_，极差、方差刻
4、画了一组数据的_集中趋势离散程度1平均数受哪些因素的影响？平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，它反映出更多的关于样本数据全体的信息但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低2中位数有何优缺点？中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息它对极端值的不敏感有时也会成为缺点3众数的特征是什么？众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算但它只能表达样本数据中很少一部分信息，无法客观地反映总体特征4极差在研究数据中有何作用？极差往往不能反映一组数据的实际离散程度，它反映的是一组数据的最大离散值5方差、标准差反映数据有哪些方面的特征？方差、标准差描述
5、了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小典例精析 规律总结课堂互动探究 某公司有 15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如表所示(单位：万元)：部门ABCDEFG人数1124223利润2052.52.11.51.51.2(1)求该公司每人所创年利润的平均数和中位数；(2)你认为使用平均数和中位数哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平比较合理？【解】(1)平均数 x 115(2052.522.141.521.521.23)3.2(万元)，中位数是 2.1 万元(2)因为该公司 A 部门每人所创年利润与其他部门每人所创
6、年利润差很大，导致平均数与中位数偏差较大，所以应用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平，而不能使用平均数描述【规律总结】若一组数据中有极端值出现，则它对平均数影响较大，平均数不能很好地反映总体当数据中个别数变动较大时，用中位数描述较好 某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数与众数的和是_解析：众数为 23，中位数为(2323)223，众数与中位数之和为 232346.答案：46 甲、乙两台包装机同时包装质量为 200 克的糖果，从中各抽出 10 袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲：203 204 202 196 199 201 205
7、197 202 199乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194(1)分别计算这两个样本的平均数与方差；(2)从计算结果看，哪台包装机包装的 10 袋糖果的平均质量更接近于 200 克？哪台包装机包装的 10 袋糖果的质量比较稳定？【解】(1)x 甲 110(3424115321)200200.8，x 乙 110(10861090766)200201.5.s2甲 110(203200.8)2(204200.8)2(202200.8)2(196200.8)2(199200.8)2(201200.8)2(205200.8)2(197200.8)2(20220
8、0.8)2(199200.8)27.96，s2乙 110(201201.5)2(200201.5)2(208201.5)2(206201.5)2(210201.5)2(209201.5)2(200201.5)2(193201.5)2(194201.5)2(194201.5)238.05.(2)x 乙 x 甲200，s2甲s2乙，甲包装机包装的 10 袋糖果的平均质量更接近 200 克，且质量比较稳定【规律总结】平均数可反映数据的总体水平，但不能完全反映问题，尤其是平均数相同的情况下，还要考虑方差，方差越大，数据离散程度越大；方差越小，数据越集中 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩(单
9、位：环)，结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_解析：x 甲8791908993590，x 乙8990918892590，故 s2甲879029190290902899029390254，s2乙899029090291902889029290252.答案：2 甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示(1)请填写下表：平均数方差中位数命中 9 环及 9 环以上次数甲乙(2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩稳定；从平均数
10、和中位数相结合看，分析谁的成绩好些；从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看，分析谁的成绩好些【解】(1)填表如下：平均数方差中位数命中 9 环及 9 环以上次数甲71.271乙75.47.53(2)因为平均数相同，且 s2甲s2乙，所以甲的成绩比乙稳定因为平均数相同，甲的中位数乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些因为平均数相同，命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些【规律总结】统计图表是数据展示的一种方式，而统计量要用到数据的准确值，因此需把折线图或茎叶图中的数据适当整理，再进行统计量的计算 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5次，两人成绩的条形统计图如图所示，
11、则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：x 甲(45678)56，x 乙(5369)56，x 甲 x 乙，A 错；甲的中位数为 6，乙的中位数为 5，B 错；甲的极差为 844，乙的极差为 954，D 错故选 C答案：C 一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：分数5060708090100甲组251013146人数乙组441621212已经算得两个组的平均分都是 80 分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由【错解】由于乙组 90 分以
12、上人数比甲组 90 分以上人数多，乙组成绩较优秀【错因分析】对一组数据进行分析的时候，应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度进行判断【正解】(1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)s 2甲 1251013146 2(50 80)2 5(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2 150(2900540010100130141006400)172.s 2乙 150(4900440016100201210012400)256.因为 s2甲s2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定(3)甲、乙两组成绩
13、的中位数、平均数都是 80 分，其中甲组成绩在 80 分以上(含 80 分)的有 33 人，乙组成绩在 80 分以上(含80 分)的有 26 人，从这一角度看，甲组成绩总体较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于 90 分的人数为 20人，乙组成绩大于或等于 90 分的人数为 24 人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多 6 人，从这一角度看，乙组成绩较好即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 众数1一文具店购入 50 盒图钉，每盒所装的图钉数目如下表.图钉数目96979899100101102103盒数1481212733则每盒中图钉个数的众数是()A99
14、B100C101D99 和 100解析：图钉数目为 99 和 100 时，出现的盒数最多，都是 12盒，所以每盒中图钉个数的众数为 99 和 100.答案：D知识点二 平均数与中位数2在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：环数789人数23已知该小组的平均成绩为 8.1 环，那么成绩为 8 环的人数是()A5B6C4D7解析：设 8 环的人数为 x，728x93x238.1，解得x5，选 A答案：A3(2017山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为()A3,5B5,5 C3,7D5,
15、7解析：根据两组数据的中位数相等可得 6560y，解得 y5，又它们的平均值相等，所以5662657470 x559616760y785，解得x3.答案：A知识点三 方差4(2019江苏卷)已知一组数据 6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是_解析：由题意，该组数据的平均数为678891068，所以该组数据的方差是16(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)253.答案：535若 x1，x2，x3，xn 的平均数是 x，方差是 s2，a，b是常数求：(1)x1b，x2b，xnb 的方差 s21；(2)ax1，ax2，axn的方差 s22.解：(1)x1，x2，x3，xn的平均数是 x，x1b，x2b，xnb 的平均数为 x b.又s21n(x1 x)2(xn x)2，s211n(x1b x b)2(xnb x b)2s2.(2)ax1，ax2，axn的平均数 x a x.s221n(ax1 x)2(ax2 x)2(axn x)21n(ax1a x)2(ax2a x)2(axna x)2a2s2.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块
