1、 第三讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词 回归课本1.逻辑联结词命题中的或且非叫逻辑联结词.2.命题pq,pq,p的真假判断pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真注意:p与q全真时,pq为真,否则,pq为假.p与q全假时,pq为假,否则,pq为真.p与p必定是一真一假.3.全称量词存在量词(1)全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作xM,p(x).(2)存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号表示.含有存在量词的命题,叫做
2、特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作x0M,p(x0).(3)两种命题的关系全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.注意:同一个全称命题特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“xA,p(x)”特称命题“xA,p(x)”表述方法对所有的xA,p(x)成立存在xA,使p(x)成立对一切xA,p(x)成立至少有一个xA,使p(x)成立对每一个xA,p(x)成立对有些xA,使p(x)成立任选一个xA,p(x)成立对某个xA,使p(x)成立凡xA,都有p(x)成立有一个xA,使p(x)成立考点陪练1.(201
3、0威海模拟题)已知命题p:xR,cosx1,则()A.p:x0R,cosx01B.p:xR,cosx1C.p:x0R,cosx01D.p:xR,cosx1解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题p:xR,cosx1的否命题是x0R,cosx01.答案:C2.(2010广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x)g(x),xR”成立的充要条件是()A.x0R,使得f(x0)g(x0)B.不存在任何实数x,使得f(x)g(x)C.xR,都有f(x)+g(x)D.存在无数多个实数x,使得f(x)g(x)解析:f(x)g(x),xR的含义即对任意的实数,都有f(x)0 B.
4、xN*,(x-1)20C.xR,lgx0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.xR,f(x)f(x0)B.xR,f(x)f(x0)C.xR,f(x)f(x0)D.xR,f(x)f(x0)解析:由题知:x0为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)f(x0),因此xR,f(x)f(x0)是错误的,选C.答案:C2ba 类型一含有逻辑联结词的命题真假判定解题准备:解决该类问题基本步骤为:1.弄清构成它的命题pq的真假;2.弄清它的结构形式;3.根据真值表判断构成新命题的真假.【
5、典例1】已知命题p:xR,使tanx=1,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,下列结论:命题“pq”是真命题;命题“pq”是假命题;命题“pq”是真命题;命题“pq”是假命题.其中正确的是()A.B.C.D.解 先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的命题进行真假判断.命题p:xR,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x0;(2)xN,x41;(3)xZ,x30,即x2+20.所以命题“xR,x2+20”是真命题.(2)由于0N,当x=0时,x41不成立.所以命题“xN,x41”是假命题.(3)由于-1Z,当x=-1时,能使x31.所以命题“xZ,x30
6、.分析 先否定量词:存在任意.再否定判断词.解 (1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题.(2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命题.(3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命题.(4)非p:xR,x2-2x0.为真命题,属特称命题.否定反思感悟 只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因否定不全面或否定词不准确而致错.从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.类型四 与逻辑联结词全称量词存在量词有关的命题中参数范围的确定解题准备
7、:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取二者的交集即可.2.此类题目经常与函数不等式等知识相联系,要注意分类讨论思想的应用.【典例4】已知两个命题r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对xR,r(x)s(x)为假,r(x)s(x)为真,求实数m的取值范围.分析 由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可先求出对xR时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由要求分情况讨论出所求m的范围.22sinxcosxr x,mxR,s x,xmx1
8、0,m40,2m2.r x,s x,mm2m2,m2,r x,s x,m2m2,m2.,22,42.2,2mm222m2.sinx 解当是真命题时又对为真命题 即恒成立有当为真为假时同时 或 即 当为假为真时且即综上 实数 的取是或值范围反思感悟 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.错源一错误理解命题的否定【典例1】已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若p为真命题,求实数m的取值范围.错解 命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数,p:函数
9、f(x)=-(5-2m)x为增函数,05-2m1,21,m0D.对任意的xR,x3-x2+1”,可能的错误是“顾此失彼”,忽略了细节.正解 题目中命题的意思是“对任意的xR,x3-x2+10都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+10即可,故命题“对任意的xR,x3-x2+10”的否定是“存在xR,x3-x2+10”,故选C.答案 C评析含有量词的命题的否定方法:对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词,而不否定省略了的全称量词.技法综合法【典例】(2010合肥第一次质检)下列命题:xR,不等式x2+2x4x-3均成立;若log2x+logx22,则x1;“若ab0且c0,则”的逆否命题是真命题;ccab若命题p:xR,x2+11,命题q:xR,x2-x-10,则命题pq是真命题.其中真命题为()A.B.C.D.2222xx2x4x3x2x3x120,;log xlog 22x1,;ab0c0,;p,q,pq110.,Aabccab 解由推得恒成立故正确 根据基本不等式可知要使不等式成立需要故正确 由得又可得则可知其逆否命题为真命题 故正确 命题 是真命题命题 是真命题 所以为假命题所以选答案 A