1、第一章 统计 8 最小二乘估计 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解最小二乘法的思想及意义(重点)2会求线性回归方程并进行简单应用(难点)1.通过了解最小二乘法的思想及意义，培养数学抽象素养2通过求线性回归方程并进行简单的应用，提升数据分析素养.自 主 预 习 探 新 知 1最小二乘法利用最小二乘法估计时，要先做出数据的如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合如果散点图呈现出线性关系，我们可以用估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合散点图最小二乘法2线性回归方程用x表示x1x2xnn，用y表示y1y2ynn，由最小二乘法可以求得bx1
2、xy1yx2xy2yxnxynyx1x2x2x2xnx2 ，a .这样得到的直线方程 yabx 称为线性回归方程，是线性回归方程的系数思考：任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？提示 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的a、bybxx1y1x2y2xnynn xyx21x22x2nn x 21变量 y 对 x 的回归方程的意义是()A表示 y 与 x 之间的函数关系B表示 y 与 x 之间的线性关系C反映 y 与 x 之间的真实关系D反映 y 与 x 之间的真实关系达到最大限度的吻合D 线性回归直线方程最能代表
3、观测值 x、y 之间的线性相关关系，反映 y 与 x 之间的真实关系达到最大限度的吻合2下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa 必过()x0123 y1357 A.点(2,2)B点(1.5,2)C点(1,2)D点(1.5,4)D 回归方程必过样本点(x，y)，经计算得(1.5,4)3对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 yabx中，回归系数 b()A不能小于 0 B不能大于 0C不能等于 0 D只能小于 0C 当 b0 时，不具有相关关系，b 可以大于 0，也可以小于0.4正常情况下，年龄在 18 岁到 38 岁的人，体重 y(kg)对身高 x(
4、cm)的回归方程为 y0.72x58.2，张明同学(20 岁)身高 178 cm，他的体重应该在_kg 左右6996 用回归方程对身高为 178 cm 的人的体重进行预测，当x178 时，y0.7217858.269.96(kg)合 作 探 究 释 疑 难 线性回归方程的应用【例1】某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2013201420152016201720182019 年份代号 t1234567 人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2013 年至
5、 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：bni1 tityiyni1 tit2，aybt.解(1)因为t12774，y2.93.33.64.44.85.25.974.3，设回归方程为 ybta，代入公式，经计算得 b31.420.700.51.84.89412 1414212，aybt4.31242.3，所以 y 关于 t 的回归方程为 y0.5t2.3.(2)因为 b120，所以 2013 年至 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预计到 2020 年，该地区农村居
6、民家庭人均纯收入 y0.582.36.3(千元)，所以预计到 2020 年，该地区农村居民家庭人均纯收入约 6.3 千元用线性回归方程估计总体的一般步骤1作出散点图，判断散点是否在一条直线附近2如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出线性回归方程(否则求出回归方程是没有意义的)3根据线性回归方程对总体进行估计跟进训练1一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：10i1(xi x)(yi y)577.5，10i1(xi x)282.5；某刑侦人员在某案发现场
7、发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计案发嫌疑人的身高为_cm.脚长 x20212223242526272829 身高 y141146154160169176181188197203 185.5 回归方程的斜率 b10i1 xixyiy10i1 xix2577.582.5 7，x24.5，y171.5，截距 aybx0，即回归方程为 y7x，当 x26.5 时，y185.5.最小二乘法探究问题1一个好的线性关系与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？提示：整体上最接近2设直线方程为 yabx，任意给定一个样本点 A(xi，yi)，用什么样的方法刻画点与直线的距离更方便有效？提示：
8、如图：法一 点到直线的距离公式 d|bxiyia|b21.法二 yi(abxi)2.显然法二比法一更方便计算，所以我们用它表示二者之间的接近程度3如果有 5 个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，怎样刻画这些样本点与直线 yabx 的接近程度？提示：y1(abx1)2y2(abx2)2y3(abx3)2y4(abx4)2y5(abx5)2.4任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？提示：用最小二乘法求回归直线的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否则求出的线性回归方程是无意义的5线性回归方程是否经过一定点？提示：
9、线性回归方程恒过定点(x，y)【例 2】关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：年龄 x2327394145495053 脂肪 y9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线；(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程思路探究(1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关关系，并作出拟合直线；(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可 解(1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散点图，如下图 进一步观察，发现上图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可
10、以用这一直线来逼近，根据图中分析，人体的脂肪含量(百分比)和年龄具有相关关系(2)设回归直线为 ybxa，那么结合题中数据，可得 x40.875，y23.25，8i1xiyi8 092.8，8i1x2i 14 195，则 b8i1xiyi8x y8i1x2i8x 2，8 092.8840.87523.2514 195840.8752 0.591 2，aybx23.250.591 240.8750.915 3，所以所求的线性回归方程是 y0.591 2x0.915 3.1最小二乘法的适用条件两个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须先对两个变量进行相关性检验2注意事项(1)利用求回归
11、方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法(2)计算a，b的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器跟进训练2已知变量x，y有如下对应数据：x1234 y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程解(1)散点图如下图所示(2)x1234452，y13454134，4i1xiyi16122039，4i1x2i1491630，b39452134304522 1310，a134 1310520，故所求回归直线方程为 y1310 x.课 堂 小 结 提 素 养 1求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无
12、需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的(2)用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a.2利用回归方程，我们可以进行估计和预测若回归方程为 y b xa，则xx0处的估计值为ybx0a.1思考辨析(1)回归直线总经过样本中的所有点()(2)由回归直线求出的值不是一个准确值()(3)任何一组数据，都可以由最小二乘法得出线性回归方程 ()解析(1)，回归直线不一定经过样本中的点，若经过所有点，则两变量为函数关系(2)，求出的值是一个估计值(3)，只有线
13、性相关的数据才有线性回归方程 答案(1)(2)(3)2设有一个回归方程为 y1.5x2，则变量 x 增加一个单位时()Ay 平均增加 1.5 个单位By 平均增加 2 个单位Cy 平均减少 1.5 个单位Dy 平均减少 2 个单位C 回归方程斜率为1.5，所以变量 x 增加一个单位，y 平均减少 1.5 个单位3某商店统计了最近 6 个月某商品的进价 x 与售价 y(单位：元)的对应数据如下：x3528912 y46391214则x_，y_，6i1x2i_，6i1xiyi_，回归方程为_65 8 327 396 y1.14x0.59 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得x 6.5，y 8，6i1x2i 327，6i1xiyi396，回归方程为 y1.14 x0.59.4某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据：x681012 y2356 已知记忆力 x 和判断力 y 是线性相关的，求线性回归方程解 x68101249，y235644，4i1x2i6282102122344，4i1xiyi6283105126158，b158494344492 14200.7，aybx40.792.3.则所求的线性回归方程为 y0.7x2.3.课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!