1、4.2 提公因式法课堂知识梳理1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.如: 2、找公因式的方法：（1）各项数字的最大公因数，（2）各项相同字母的最低次数3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.课后培优练级练培优第一阶基础过关练1把多项式-6x2-9x分解因式，结果正确的是（）A-32x2+3xB-32x2-3xC-3x(2x-3)D-3x(2x+3)【答案】D【详解】解：-6x2-9x=-3x2x+3，故选：D
2、2（把-6x3y2-3x2y2+8x2y3因式分解时，应提取的公因式是（）A-3x2y2B-2x2y2C-6x2y2D-x2y2【答案】D【详解】由题意得应该提取的公因式是：-x2y2故选：D3如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（）A100B120C48D140【答案】B【详解】解：由题意知，ab=15，2a+b=16，则a+b=8，因此a2b+ab2=aba+b=158=120，故选B4下列各组中，没有公因式的一组是（）Aax-bx与by-ayBab-ac与ab-bcC6xy-8x2y与-4x+3Da-b3与b-a2y【答案】B【详解】A.ax-bx
3、=xa-b，by-ay=-ya-b，有公因式a-b，故不符合题意；B.ab-ac=ab-c，ab-bc=ba-c，没有公因式，符合题意；C.6xy-8x2y=2xy3-4x，-4x+3=3-4x，有公因式3-4x，故不符合题意；D. a-b3与b-a2y有公因式a-b，故不符合题意；故选：B5分解因式b2x-2+b2-x正确的结果是（）Ax-2b2+bBbx-2b+1Cx-2b2-bDbx-2b-1【答案】D【详解】解：b2x-2+b2-x=b2x-2-bx-2=b(x-2)b-1故选：D6在因式分解练习时，小颖做了4道题如下，小颖分解不够到位的一题是（）Ax2-y2=(x-y)(x+y)Bx
4、2-4xy+4y2=(x-2y)2Cx2y-2xy2=xy(x-2y)Dx2-x=x(x2-1)【答案】D【详解】解：A. x2-y2=(x-y)(x+y)，正确，不符合题意；B. x2-4xy+4y2=(x-2y)2，正确，不符合题意；C. x2y-2xy2=xy(x-2y) ，正确，不符合题意；D. x2-x=x(x-1) ，原式分解错误，符合题意，故选：D7已知d=x4-2x3+x2-8x+11，则当x2-2x-3=0时，d的值为（）A25B24C23D22【答案】C【详解】x2-2x-3=0，d=x4-2x3+x2-8x+11，=x2(x2-2x-3)+4(x2-2x-3)+23，=2
5、3故选：C8分解因式6x2y3+15xy2z的结果是_【答案】3xy22xy+5z【详解】解：原式=3xy22xy+5z故答案为：3xy22xy+5z9因式分解：(x+3)2-(x+3)=_.【答案】x+3x+2【详解】解：(x+3)2-(x+3)= x+3x+3-1=x+3x+2，故答案为：x+3x+210计算(1+3)2018-2(1+3)2017-2(1+3)2016=_【答案】0【详解】解：原式=1+320161+32-21+3-2=1+320164+23-2-23-2=0；故答案为011已知x+y=3，xy=-4，则x2y+xy2的值是 _【答案】-12【详解】解：x+y=3，xy=
6、-4，x2y+xy2=xyx+y=-43=-12故答案为：-1212把下列多项式因式分解：(1)x2-xy+x；(2)m2n-mn2+mn；(3)9x3y3-21x3y2+12x2y2；(4)x2x-y+y2x-y【答案】(1)xx-y+1(2)mnm-n+1(3)3x2y23xy-7x+4(4)x-yx2+y2【详解】（1）解：x2-xy+x=xx-y+1（2）解：m2n-mn2+mn=mnm-n+1（3）解：9x3y3-21x3y2+12x2y2=3x2y23xy-7x+4（4）解：x2x-y+y2x-y=x-yx2+y213先化简再求值：2xx+y-x+yx-y，其中x=2,y=-1【答
7、案】(x+y)2，1【详解】解：2xx+y-x+yx-y=x+y2x-x+y =x+y2 当x=2,y=-1时，原式=2-12=114先化简再求值：aa-b2-bb-a2，其中a=2，b=12【答案】a-b3，278【详解】解：aa-b2-bb-a2=aa-b2-ba-b2=a-b2a-b=a-b3，将a=2，b=12代入可得，原式=2-123=323=27815利用因式分解计算：2015+20152-20152016【答案】0【详解】2015+20152-20152016=20151+2015-2016=20150=016通过计算说明255+511能被30整除【答案】见解析【详解】解：因为2
8、55+511 =(52)5+511 =510+5510 =559+2559 =59(5+25) =3059，所以255+511能被30整除培优第二阶拓展培优练17把-ax-y-by-x+cx-y分解因式，正确的是（）Ax-y-a-b+cB-x-ya-b-cC-x-ya-b+cD-x-ya+b-c【答案】B【详解】解：-ax-y-by-x+cx-y=-ax-y+bx-y+cx-y=x-y-a+b+c=-x-ya-b-c，故选：B18单项式8xmyn-1与12x5myn的公因式是（）AxmynBxmyn-1C4xmynD4xmyn-1【答案】D【详解】8xmyn-1与-12x5myn的公因式是4x
9、myn-1，故选：D19下列关于2300+（2）301的计算结果正确的是（）A2300+（2）301230023012300223002300B2300+（2）3012300230121C2300+（2）301（2）300+（2）301（2）601D2300+（2）3012300+23012601【答案】A【详解】2300+（2）301230023012300223002300故选：A20已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2001的值是（）A2000B2000C2001D2001【答案】B【详解】解：m2+m-1=0，m2+m=1，m3+2m2-2001=m3+m2+m2-2001
10、=mm2+m+m2-2001=m+m2-2001=1-2001=-2000，故选：B21对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定acbd=ad-bc,如1324=14-23=-2求(a+c)(b-a)2(a-c)(a-b)2的值为（）A2c(a-b)2B2a(a-b)2C(a-c)(a-b)D(a-c)(a+c)【答案】A【详解】解： acbd=ad-bc (a+c)(b-a)2(a-c)(a-b)2=a+ca-b2-b-a2a-c=a+ca-b2-a-ca-b2=a-b2a+c-a+c=2ca-b2故选A22分解因式：(x-5)(3x-2)-3(x-5)=_【答案】(x-5)(3x-5)#3
11、x-5x-5【详解】(x-5)(3x-2)-3(x-5)=(x-5)(3x-2-3)=(x-5)(3x-5)23若4n+1-22n=48，则n的值为_【答案】2【详解】解：4n+1-22n=48，22(n+1)-22n=48，22n+2-22n=48，22n(4-1)=48，22n3=48，22n=16，22n=24，2n=4，n=2，故答案为：224若m2+m-1=0，则m3+2m2+2021=_【答案】2022【详解】解：m2+m-1=0，m2+m=1m3+2m2+2021=mm2+m+m2+2021=m+m2+2021=1+2021=2022 故答案为：202225已知：1+x+xx+1
12、+xx+12= (1+x)1+x+x(1+x)= 1+x1+x1+x=1+x3，因式分解1+x+xx+1+xx+12+xx+12022，结果为_【答案】1+x2023【详解】解：1+x+xx+1+xx+12+xx+12022=1+x1+x+x1+x+x1+x2+.+x1+x2021=1+x21+x+x1+x+x1+x2+.+1+x2020=1+x31+x+x1+x+x1+x2+.+x1+x2019=1+x20211+x+x1+x=1+x20221+x=1+x2023故答案为：1+x202326阅读材料：若x3+2x2-2x+m(m为常数)有一个因式为x-1，则如何因式分解x3+2x2-2x+m
13、？解：因为x3+2x2-2x+m有一个因式为x-1，所以当x-1=0时，x3+2x2-2x+m=0，于是把x=1代入x3+2x2-2x+m=0得1+2-2+m=0，解得m=-1，原代数式变为x3+2x2-2x-1，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解x3+2x2-2x-1=(x-1)(x2+3x+1)若x3+4x2+mx+2(m为常数)有一个因式为x+2，则因式分解x3+4x2+mx+2=_【答案】(x+2)(x+1)2【详解】解：因为x3+4x2+mx+2有一个因式为x+2，所以当x+2=0时，x3+4x2+mx+2=0，于是把x=-2代入x3+4x2+mx
14、+2=0得-8+16-2m+2=0，解得m=5，原代数式变为x3+4x2+5x+2，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解x3+4x2+5x+2=(x+2)(x2+2x+1) x+2x2+2x+12x2+5x+22x2+4xx+2x+20因式分解x3+4x2+mx+2=(x+2)(x+1)2，故答案为：(x+2)(x+1)227先化简，再求值：252m2n-3mn2-m2n-2mn2，其中m=12，n=-1【答案】4mnm-n，-3【详解】解：252m2n-3mn2-m2n-2mn2=5m2n-6mn2-m2n+2mn2，=4m2n-4mn2=4mnm-n，当m
15、=12，n=-1时，原式=412-112-1=-232=-328已知ABC的三边长a，b，c满足a2-2ab+b2=ac-bc，试判断ABC的形状，并说明理由【答案】ABC为等腰三角形；理由见解析【分析】利用提公因式法将a2-2ab+b2=ac-bc转化为a-ba-b-c=0，再由三角形三边关系，两边之和大于第三边，解得a-b-c0，继而判断a-b=0，得到a=b，据此解题【详解】解：a-b2-ca-b=0，a-ba-b-c=0，a-b-c0，a-b=0，a=b，ABC为等腰三角形29在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除(1)请你
16、判断112233_（填能或不能）被3整除；(2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1326”试着进行推理：1326=10001+1003+102+16=999+11+99+13+9+12+6=9991+993+92+1+3+2+6“33331+333+32”能被3整除，当“1+3+2+6”能被3整除，原数就能被3整除现在，设abcd是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；(3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、数位，我们称
17、为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加请证明，若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除【答案】(1)能(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：(1+1+2+2+3+3)3=4各个数位上的数字和可以被3整除，即112233能被3整除；故答案为：能（2）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=999+1a+99+1b+9+1c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3333a+33b+3c+a+b+c+d，3
18、333a+33b+3c能被3整除，若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；（3）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=1001-1a+99+1b+11-1c+d=1001a+99b+11c+-a+b-c+d=1191a+9b+c+d+b-c+a，1191a+9b+c能被11整除，若“d+b-c+a”能被11整除，即若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除培优第三阶中考沙场点兵30（2022广西柳州统考中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（）Aa（a+2）Ba（a2）C（a+2）2D（a+2）（a2）【答案】A【详解】a2+2a=a(a+2)故选A31（2022江苏镇江统考中考真题）分解因式：3x+6=_【答案】3x+2#32+x【详解】解：原式3x+2故答案为：3x+232（2022广东广州统考中考真题）分解因式：3a2-21ab=_【答案】3aa-7b【详解】解：3a2-21ab=3aa-7b故答案为：3aa-7b33（2022贵州黔西统考中考真题）已知ab=2，a+b=3，则a2b+ab2的值为_【答案】6【详解】解：a2b+ab2=aba+b =23=6故答案为：6
