1、2.2 向量的减法 1.了解相反向量的含义,掌握向量的减法运算,会利用向量减法的三角形法则表示两个向量的差.2.理解向量的减法要结合图形,通过相反向量揭示向量加、减法之间的内在联系,并通过对向量加法的三角形法则的理解来学习向量减法的三角形法则.3.能进行向量加、减法的混合运算.4.能运用向量的加法与减法解决有关向量的模的问题.1.相反向量(1)定义:如果两个向量的长度相等,而方向相反,那么称这两个向量互为相反向量.a的相反向量记为-a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.(2)性质:对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.【做一做1
2、-1】下列各式不正确的是()A.a-b=b-aB.0-a=-aC.-(-a)=aD.a+(-a)=0答案:A【做一做1-2】已知a,b分别表示“方向向南,大小为5 m/s的风速”“竖直向上,大小为10 N的力”,请说明向量-a,-b的意义.解:-a表示方向向北,大小为5 m/s的风速;-b表示竖直向下,大小为10 N的力.2.向量的减法名师点拨 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,=就可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接两个向量的终点,箭头指向被减向量”即可.2.以向量 =a,=b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量为 =a+b,=
3、b-a,=a-b.这一结论的应用非常广泛,应该加强理解并记住.3.三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样适用.4.与向量的和一样,向量的差仍然是一个向量.【做一做2-1】如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则:(1)=_;(2)=_;(3)=_;(4)=_.答案:(1)(2)(3)(4)【做一做 2-2】已知 =a,=b,若|=12,|=5,且AOB=90,则|a-b|=.解析:利用向量减法的三角形法则,知|a-b|是 RtAOB 的斜边长.由勾股定理,得|a-b|=52+122=13.答案:13 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 向量减法的几何意义 【例1】如图,已知向
4、量a,b,c,求作a-b-c.分析:任选起点平移向量共起点,连终点方向指向被减向量 解:如图,在平面内任取一点 O,作 =a,=b,=c,则由向量减法的三角形法则,得 =a-b,=a-b-c.题型一 题型二 题型三 题型四 反思应用三角形法则进行向量减法运算时,必须平移向量使之共起点,则终点与终点所确定的向量就是两个向量的差向量,此时差向量的方向指向被减向量的终点.对于多个向量的减法运算,一般通过两两相减依次运算.题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练1】若本例中的向量a,b,c不变,求作(a-b)-(b-c).解:(a-b)-(b-c)=a-b-b+c.如图,在平面内任取一点 O,作 =a
5、,=b,=c,则由向量加减法的三角形法则,得 =a-b,=a-b-b,=+=a-b-b+c=(a-b)-(b-c).题型一 题型二 题型三 题型四 题型二向量的减法运算【例 2】化简:()().解(方法一,变为加法)原式=+=+=(+)+(+)=+=0.(方法二,利用公式 =)原式=+=()+=+=+=0.(方法三,利用公式 =,其中O 是平面内任一点)原式=+=()()()+()=+=0.题型一 题型二 题型三 题型四 反思向量的加、减法运算有如下方法:(1)利用相反向量统一成加法(相当于代数和);(3)辅助点法:利用向量的定义将所有向量转化为以某一确定点为起点的向量,使问题转化为有共同起点
6、的向量问题.另外,应用向量减法的三角形法则,需注意“共起点”的条件.(2)运用减法公式 =(正用或逆用均可);题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 2】(1)下列各式不能化简为 的是()A.+B.+(+)C.(+)+()D.+(2)如图,在ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是()A.=B.=C.=0D.=答案:(1)D(2)C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三用已知向量表示其他向量【例 3】已知从点 O 到ABCD 的三个顶点 A,B,C 的向量分别为 a,b,c,则向量 =_.解析:如图,=a,=b,=c,则 =+=+=+()=a+(c-b)=a+c-b.答案:a+c-b
7、题型一 题型二 题型三 题型四 反思用已知向量表示其他向量的基本方法和步骤:第一步,观察各向量的位置;第二步,寻找或构造相应的平行四边形或三角形;第三步,运用法则找关系;第四步,化简结果.题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 3】如图,AD 与 CF 交于点 O,已知 =a,=b,=c,=d,=f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量:(1);(2);(3);(4)+;(5).解:(1)=c-a.(2)=+=+=a+d.(3)=d-b.(4)+=+=b-a-c+f.(5)=+=d+f.题型一 题型二 题型三 题型四 题型四向量的加法、减法运算及模的综合应用【例4】已知向量a,b满足|a|
8、=1,|b|=2,|a-b|=2,求|a+b|.分析:明确a-b与a+b的几何意义,通过解直角三角形求得结果.解:如图,在平面内任取一点 A,作 =a,=b,则 =a+b,=a-b.由题意,知 =2,=1.过点B 作 BEAD 于点 E,过点 C 作 CFAB 交直线 AB 于点 F.AB=BD=2,AE=ED=12 =12.题型一 题型二 题型三 题型四 反思恰当地构造相关图形,灵活地运用向量的几何性质,才能正确求解未知量.CBF=EAB,又在 RtABE 中,cosEAB=14,cosCBF=14.BF=BCcosCBF=114=14.CF=154.=+=2+14=94.在 RtAFC 中
9、,AC=2+2=8116+1516=6,|a+b|=6.题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 4】已知向量 a=,b=,|a|=4,|b|=6,求|a+b|的最大值和最小值.分析此题可用三角不等式直接求解,也可分类讨论求解.解(方法一)由|a|-|b|a+b|a|+|b|,得|a+b|max=|a|+|b|=4+6=10,此时a与b同向;|a+b|min=|a|-|b|=|4-6|=2,此时a与b反向.(方法二)当a,b不共线时,连接O,A,B三点所得线段可构成三角形.由三角形中两边之和大于第三边及两边之差小于第三边可得2|a+b|10.当a,b共线时,要分同向和反向两种情况来看:若向量a
10、,b同向,则|a+b|=10;若向量a,b反向,则|a+b|=2.综上可得,|a+b|的最大值为10,最小值为2.1 2 3 4 5 1.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是()A.a与b的长度相等B.abC.a与b一定不相等D.a是b的相反向量答案:C1 2 3 4 5 2.在ABC 中,=a,=b,则 =()A.a-bB.b-aC.a+bD.-a-b解析:=-a-b.答案:D 1 2 3 4 5 A.1B.2C.3D.4 答案:D 3.化简以下各式:+;+;+;+.结果为零向量的个数是()1 2 3 4 5 解析:原式=()+(+)=+=.答案:4.如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,
11、AC 与 BD 交于点 O,则 +=_.1 2 3 4 5 5.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,(1)作a-b+c,并求|a-b+c|;(2)作a-b-c,并求|a-b-c|.分析:由于a-bc=(a-b)c,因此可先作a-b,再作(a-b)c,最后利用向量模的定义求解.设 =a,=b,=c.1 2 3 4 5(1)作 =c,连接 DF,则 +=,即 =a-b+c.=,AC,FCBA.又 ABCD,D,C,F 三点共线,且 FC=CD,DF=2AB,|=2|=2,即|a-b+c|=2.1 2 3 4 5(2)作 =c,连接 BE,则 =a-b-c.=,AC,ADCE.又 ADBC,B,C,E 三点共线,且 EB=2AD.|=2|=2,即|a-b-c|=2.
