1、第三章 概 率2 古典概型23 互斥事件自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1理解互斥事件、对立事件的定义2会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率.1互斥事件(1)定 义：在 一 个 随 机 试 验 中，我 们 把 一 次 试 验 下_的两个事件 A 与 B 称作互斥事件(2)规定：事件 AB 发生是指事件 A 和 B_发生(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件 A 和 B 是互斥事件，那么有 P(AB)_(4)公式的推广：如果随机事件 A1，A2，An 中任意两个是 互 斥 事 件，那 么 有P(A1 A2 An)_不能同时发生至少有一个P(A)P(B)P(A1)P(A2
2、)P(An)练一练：(1)从一批产品中取出三件产品，设 A“三件产品全不是次品”，B“三件产品全是次品”，C“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是()AA 与 B 互斥B任何两个均互斥CB 与 C 互斥D任何两个均不互斥解析：A 为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件，由此知，A 与 B 是互斥事件，A 与 C 是对立事件，也是互斥事件，B 与 C 是包含关系，故选项 A 正确答案：A2对立事件(1)定义：在一次试验中，如果两个事件 A 与 B 不能同时发生，并且
3、一定有一个发生，那么事件 A 与 B 称作对立事件，事件A 的对立事件记为 A.(2)性质：P(A)P(A)_，即 P(A)1_1P(A)练一练：(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则下列结论正确的序号为_A 与 B 是互斥而非对立事件；A 与 B 是对立事件；B 与 C 是互斥而非对立事件；B 与 C 是对立事件解析：一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷
4、1 次，所得到的基本事件有 6 种：得到的点数为 1 点、得到的点数为 2 点、得到的点数为 3 点、得到的点数为 4 点、得到的点数为 5 点、得到的点数为 6 点，事件 A 包含的结果有得到的点数为 1 点、得到的点数为 3 点、得到的点数为 5 点，事件 B 包含的结果有得到的点数为 1 点、得到的点数为 2 点，得到的点数为 3 点，事件 C 包含的结果有得到的点数为 4 点、得到的点数为 5点、得到的点数为 6 点，所以 B 与 C 是对立事件，故填.答案：1如何从集合的角度理解互斥事件？从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，即 AB，任何两个基本事件都是互斥的2
5、如何从集合的角度理解对立事件？从集合的角度看，由事件 B 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集，对立事件是针对两个事件而言的3互斥事件与对立事件有何关系？两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；若两个事件是互斥事件，则未必是对立事件对立事件是特殊的互斥事件典例精析 规律总结课堂互动探究 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否是对立事件，并说明理由某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生去参加演讲比赛(1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；(2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；(3)至少有 1 名男生和全是男生；(4)至少有 1 名男生和全是
6、女生【解】(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：在所选的 2 名学生中，“恰有 1 名男生”实质是选出的是“1 名男生 1 名女生”，它与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件(2)既不是互斥事件，也不是对立事件理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生 1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果“至少有 1 名女生”包括“1 名女生 1 名男生”和“2 名都是女生”两种结果，它们可同时发生(3)既不是互斥事件，也不是对立事件理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生 1 名女生”和“2 名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生(
7、4)既是互斥事件，又是对立事件理由是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生 1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，并且其并事件是必然事件，所以是对立事件【规律总结】判断两个事件是互斥事件还是对立事件，只需要找出各个事件所包含的基本事件，看他们之间是否有公共部分，若各自包含的基本事件无公共部分，则两个事件互斥，再判断是否必有一个发生，即判断是否为对立事件 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少一个白球，都是白球B至少有 1 个白球，至少有 1 个红球C恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D至少有 1 个白
8、球，都是红球解析：从袋中任取两个球，可能为 2 个红球或 2 个白球或 1红球 1 白球恰有 1 个白球与恰有 2 个白球是互斥但不对立事件答案：C 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是 512，得到黄球或绿球的概率也为 512，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？【解】从袋中任取一球，记事件“取得红球”“取得黑球”“取得黄球”“取得绿球”分别为事件 A，B，C，D，它们彼此互斥，由题意得，P(A)13，P(B)P(C)512，P(C)P(D)512.P(A)P(B)2P(C)P(D)13 512 51276，
9、又 P(A)P(B)P(C)P(D)1，P(C)16，P(B)14，P(D)14.得到黑球，黄球，绿球的概率分别是14，16，14.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘 A 或 B 去开会的概率为 0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：(1)记“他乘火车去”为事件 A1，“他乘轮船去”为事件 A2，“他乘汽车去”为事件 A3，“他乘飞机去”为事件 A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥故 P(A1A4)P(A1)P(A4)0.30.40.7.(2)设
10、他不乘轮船去的概率为 P，则 P1P(A2)10.20.8.(3)由于 0.30.20.5,0.10.40.5，1(0.30.2)0.5,1(0.40.1)0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去 玻璃球盒中装有各色球共 12 只，其中 5 只红球、4只黑球、2 只白球、1 只绿球，求从中取 1 球：(1)取得红球或黑球的概率；(2)取得红球或黑球或白球的概率【解】解法一：利用互斥事件求概率记事件 A1任取 1 球为红球；A2任取 1 球为黑球；A3任取 1 球为白球；A4任取 1 球为绿球，则P(A1)512，P(A2)412，P(A3)212，P(A4)112.根据题意
11、知，事件 A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2)512 41234.(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)512 412 2121112.解法二：利用对立事件求概率的方法(1)由解法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1球为白球或绿球，即 A1A2的对立事件为 A3A4.所以取得 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1 212 112 91234.(2)A1A2A3的对立事件为 A4.P(A1A2A3
12、)1P(A4)1 1121112.【规律总结】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的 2 只都是次品；(2)取到的 2 只中正品、次品各一只；(3)取到的 2 只中至少有一只正品解：从 6 只灯泡中有放回地任取两只，共有 6236 种不同取法(1)取到的 2 只都是次品情况为 224 种，因而所求概率为 43619.(2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能
13、：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品，因而所求概率为 P4236 2436 49.(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为 P11989.若甲、乙两名射手在同样条件下击中目标的概率分别是 0.6,0.7，则甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是多少？【错解】由题意知，0.60.71.3，即甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是 1.3.【错因分析】甲击中目标与乙击中目标这两个事件不是互斥事件，不能直接相加得结果【正解】甲、乙未击中目标的概率分别是 0.4,0.3.甲、乙都未击中目标的概率为 0.40.30.12.“
14、甲、乙都未击中目标”与“甲、乙两人中至少有一人击中目标”为对立事件甲、乙两人至少有一人击中目标的概率是 10.120.88.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 互斥事件与对立事件1同时掷 3 枚质地均匀的硬币，那么互为对立事件的是()A至少有 1 枚正面朝上和至多有 1 枚正面朝上B至多有 1 枚正面朝上和恰有 2 枚正面朝上C至多有 1 枚正面朝上和至少有 2 枚正面朝上D至少有 2 枚正面朝上和恰有 1 枚正面朝上解析：同时掷 3 枚硬币，至多有 1 枚正面朝上与至少有 2 枚正面朝上是对立事件，故选 C答案：C2从 1,2，9 中任取两个数，恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个偶数
15、和两个都是偶数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()AB CD解析：同一事件，即都是一奇一偶；至少有一个偶数包含两个都是偶数，不对立；是对立事件；都包含一奇一偶的情况，不对立答案：C知识点二 互斥事件的概率3甲、乙两人下棋，两人下成合棋的概率是12，甲胜的概率是13，则甲不输的概率是()A56B25C16D13解析：甲不输，则甲胜或平，又甲胜的概率是13，合棋的概率是12，所以甲不输的概率是 P131256.答案：A知识点三 对立事件的概率4从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽到二等品，事件 C抽到三等品，且已知
16、P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A0.7B0.65C0.35D0.5解析：“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，所求的概率为 1P(A)10.650.35.答案：C5某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C)11 000 1100 120611 000.(3)中特等奖或一等奖的概率为11 000 1100 111 000，1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 1 111 0009891 000.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块