1、第二章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握数量积的坐标表达式(重点)2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系(重点)3.了解直线的方向向量的概念(难点)1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1平面向量数量积的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2).(1)ab_；(2)a2x21y21，即|a|_；(3)设向量 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|_；(4)ab_x1x2y1y2x21y21x
2、1x2y1y2x21y21 x22y22x1x2y1y20思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示 能ababx1x2y1y20.2直线的方向向量给定斜率为 k 的直线 l，则向量 m(1，k)与直线 l_，我们把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的_共线方向向量思考2：直线的方向向量唯一吗？提示 不唯一因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个C 因为BCACAB(1，t3)，所以|BC|1（t3）21，解得t3，所以BC(1，0)，所以AB BC 21302，故选C.1已知AB(2，3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2 C2
3、 D32 由题意知ab21(1)x0，得x2.2已知a(2，1)，b(1，x)，且ab，则x_2 2 由|a|b|得 42（1）2 x232，解得x2 2.3已知向量a(4，1)，b(x，3)，若|a|b|，则x_.4 设a与b的夹角为，则cos 31（1）（2）10 522，又0，所以4.4已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为_合 作 探 究 释 疑 难 平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a和b同向，b(1，2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)设ab(，2)(0).ab10，5 5cos 010，解得2.a(2，4).(2)(
4、ac)b(224(1)b0b0.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算1(1)已知向量a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6 C6 D12(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF2FD，则BECF_(1)D(2)23 (1)2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由a(2ab)0，得(2，1)(5，2k)0，所以102k0，解得k12.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，
5、D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为AF2FD，所以F43，2.所以BE(2，1)，CF43，2(2，0)23，2，所以BECF(2，1)23，2223 1223.向量的夹角及垂直【例2】已知a(1，2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角解 ab(1，2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，即120，所以12.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0，且a与b不反向由ab0，得120，故12，由a与b共线得2，故a与b不可能反向所以的
6、取值范围为，12.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得12，由a与b同向得2.所以的取值范围为12，2(2，).1已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|x2y2进行计算2求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cos ab|a|b|，计算cos 的值；(4)在0，内，由cos 的值确定角.2已知a(1，2)，b(2，4)，|c|5.(1)求|a2b|；(2)若(ab)c52，求向量a与c的夹角解(1)a2b(1，2)2(
7、2，4)(3，6)，|a2b|（3）2（6）23 5.(2)b(2，4)2(1，2)2a，aba，(ab)cac52.设a与c的夹角为，则cos ac|a|c|525 512.0，23，即a与c的夹角为23.向量的模探究问题1由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB(x2x1，y2y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|AB|（x2x1）2（y2y1）2.2求向量的坐标一般采用什么方法？提示 一般采用设坐标、列方程的方法求解【例3】设平面向量a(1，1)，b(0，2).求a2b的坐标和模的大小思路探究 利用向量的坐标运算求得a
8、2b的坐标表示，然后求模解 a(1，1)，b(0，2)，a2b(1，1)2(0，2)(1，3)，|a2b|12（3）2 10.1将例3中的条件不变，若c3a(ab)b，试求|c|.解 ab10122，c3(1，1)2(0，2)(3，1)，|c|32（1）2 10.2将例3中的b(0，2)改为b(0，2)，其他条件不变，若kab与ab共线，试求k值解 a(1，1)，b(0，2)，kabk(1，1)(0，2)(k，k2).ab(1，1)(0，2)(1，1).kab与ab共线，k2(k)0.k1.3将例3中的b(0，2)改为b(0，2)，其他条件不变，若kab的模等于 10，试求k值解 kabk(1
9、，1)(0，2)(k，k2)，kab的模等于 10.k2（k2）2 10，化简得k22k30，解得k1或k3.即当k1或k3时满足条件求向量的模的两种基本策略(1)字母表示的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示的运算若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.课 堂 小 结 提 素 养 1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.应用该条件要注意：由ab可得x1x2y1y20；反过来，由x1x2y1y20可得ab.2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的
10、数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（x2x1）2（y2y1）2.()(3)两向量a与b的夹角公式cos x1x2y1y2x21y21 x22y22的使用范围是a0且b0.()答案(1)(2)(3)D cos 3 322 32，又因为0，180，所以150.2已知a(3，1)，b(1，3)，那么a，b的夹角()A30 B60 C120 D150C(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n 3.|a|12n22.3已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1 B 2C2 D44已知a(3，2)，b(4，k)，若(5ab)(b3a)55，试求b的坐标解 a(3，2)，b(4，k)，5ab(11，10k).b3a(5，k6)，(5ab)(b3a)(11，10k)(5，k6)55(k10)(k6)55，(k10)(k6)0，k10或k6，b(4，10)或b(4，6).点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!