1、第三讲 推理与证明配套作业一、选择题1已知2，2，2，2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为(A)A.2B.2C.2D.2解析：由268，538，718，知选A.2若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ab，bc，ac不能同时成立其中判断正确的个数是(C)A0个 B1个 C2个 D3个解析：a，b，c是不全相等的正数，故正确错误；对任意两个数a，b，ab与ab及ab三者必有其一正确，故正确3已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*成立，那么(A)Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b
2、，c解析：代入n1，2，3，联立关于a，b，c的方程组可得，也可通过验证法求解4已知f(x1)，f(1)1 (xN*)，猜想f(x)的表达式为(B)Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)5已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an(B)A. B.C. D.解析：由Snn2an知Sn1(n1)2an1，Sn1Sn(n1)2an1n2an，an1(n1)2an1n2an，an1an(a2)当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4.猜想an.二、填空题6. (2014福建卷)若集合a，b，c，d1，
3、2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_个解析：由于题意是只有一个是正确的所以不成立，否则成立，即可得a1，由b1即b2，3，4，可得b2，c1，d4，a3；b3，c1，d4，a2，两种情况由c2，d4，a3，b1，所以有一种情况由d4，即d1，2，3，可得d2，a3，b1，c4；d2，a4，b1，c3；d3，a2，b1，c4，共三种情况综上共6种答案：67(2015福建卷)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1，2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生
4、码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_解析：因为x2x3x6x70，所以x2，x3，x6，x7都正确又因为x4x5x6x71，x1x3x5x71，故x1和x4都错误，或仅x5错误因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误答案：58. (2014陕西卷) 观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥569 五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面
5、体中，F，V，E所满足的等式是_解析：三棱锥：F5，V6，E9，得FVE5692；五棱锥：F6，V6，E10，得FVE66102；立方体：F6，V8，E12，得FVE68122；所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是：FVE2.故答案为FVE2.答案：FVE2三、解答题9观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 011是第几行的第几个数？ (4)是否存在nN*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227213120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理
6、由解析：(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101 024，2112 048，1 0242 0112 048，2 011在第11行，该行第1个数是2101 024，由2 0111 0241988，知2 011是第11行的第988个数(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.则an322n32n2，an1322n12n1，an2322n12n，an9322n152n7，Sn3(22n322n122n15)(2n22n12n7)322n1722n32n82n2，当n5时，S
7、52271282138227213120.存在n5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227213120.10蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：.解析：(1)f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1(直接给出结果也可)(2)当n2时，.当n1时，显然结论成立，当n2时，1()()11.综上，结论成立