1、第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第2课时 半角的正弦、余弦和正切 学 习 目 标核 心 素 养 1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 半角公式(1)sin 2_；(2)cos 2_；(3)tan 2_1cos 21cos 21cos 1cos sin 1cos 1cos sin 思考：利用 tan sin cos 和
2、倍角公式能得到 tan 2与 sin，cos 有怎样的关系？提示 tan 2sin 2cos 2sin 22cos 2cos 22cos 2sin 1cos，tan 2sin 2cos 2sin 22sin 2cos 22sin 21cos sin.1若 cos 13，且(0，)，则 sin 2的值为()A 33 B 33 C 63 D 63答案 B2已知 cos 23，2，2，则 cos 2的值为()A 66B 306C 66D 306答案 BB 由 tan 2sin 1cos，得 tan 15sin 301cos 302 3.3tan 15等于()A2 3B2 3C 31 D 311a2
3、1a2 sin 110，cos 110，所以 sin 111a2，cos 111a2.4若 cos 22a，则 sin 11_，cos 11_(用a 表示).合 作 探 究 释 疑 难 应用半角公式求值【例 1】已知 cos 13，为第四象限角，求 sin 2、cos 2、tan 2.解 sin 2 1cos 21132 33，cos 2 1cos 21132 63，tan 2 1cos 1cos 113113 22.为第四象限角，2为第二、四象限角当2为第二象限角时，sin 2 33，cos 2 63，tan 2 22；当2为第四象限角时，sin 2 33，cos 2 63，tan 2 22
4、.在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2，还要注意运用公式 tan 2sin 1cos 1cos sin 来求值1已知 sin 45，且52 3，求 cos 2和 tan 2.解 sin 45，52 3，cos 1sin235.由 cos2cos221得 cos221cos215.54 232.cos 21cos 2 55.tan 2sin 1cos 2.利用半角公式化简求值【例 2】化简：sin 2cos 2（1cos sin）22cos 32 2.思路探究 利用半角公式将角进一步统一为2，注意角的取值范围解 32 2，34 2，
5、原式sin 2cos 2 2cos222sin2cos 24cos222cos 2sin 2cos 2 cos 2sin 22cos 2cos22sin22cos.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数2化简：（1sin xcos x）sin x2cos x222cos x(180 x360).解 原式12sin x2cos x22cos 2x21sin x2cos x2222cos2x212sinx2cos x22cos2x2 sinx2cos
6、x24cos2x22cosx2sin x2cos x2 sin x2 cos x22cos x2cos x2sin2x2cos2x2cosx2cos x2cos xcos x2.因为 180 x360，所以 cos x20，所以原式cos x2cos xcos x2cos x三角恒等变换的综合应用探究问题1半角公式适用的条件是什么？提示 cos 21cos 2，sin 21cos 2，R.tan 21cos 1cos sin 1cos 中，2k，kZ，tan 21cos sin 中，k，kZ.2如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？提示 例如 可以看成2的倍角，也可以看成 2 的半角3怎样
7、把 a sin xb cos x 化成 A sin(x)形式？提示 a sin xb cos x a2b2aa2b2sin xba2b2cos xa2b2(sin x cos cos x sin)a2b2 sin(x)其中sin ba2b2，cos aa2b2.【例 3】已知函数 f(x)2 3sin x cos x2cos2x1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 x0，2 时，求函数 f(x)的最大值及相应的 x 值.思路探究 把 f(x)化成 A sin(x)的形式，再研究其性质解 f(x)2 3sin x cos x2cos2x1 3sin2xcos 2x2sin 2x6.
8、(1)令 2k22x62k2(kZ)，得 k3xk6(kZ)，f(x)的单调递增区间为k3，k6(kZ).(2)由 x0，2，可得62x676.当 2x62，即 x6时，f(x)取最大值，最大值为 2.将例 3 中的函数变为“f(x)sin2xsin2x6，xR”，试求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在 x3，4 上的最值 解 (1)由 已 知，得 f(x)1cos2x21cos 2x32 1212cos 2x 32 sin 2x 12cos 2x 34 sin 2x14cos 2x12sin 2x6.所以f(x)的最小正周期 T22.(2)因为 f(x)在区间3，6 上是减函数，
9、在区间6，4 上是增函数，f3 14，f6 12，f4 34.所以 f(x)在区间3，4 上的最大值为 34，最小值为12.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将 f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如 yA sin(x)的形式，再研究 f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将 x看成一个整体去讨论最值及单调性问题课 堂 小 结 提 素 养 1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式 a sin xb cos x a2b2sin(x)，其
10、中 满足：与点(a，b)同象限；tan ba或sin ba2b2，cos aa2b2.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)半角公式对任意角都适用()(2)tan 2sin 1cos，只需满足 2k(kZ).()(3)sin xcos x 2sin x4.()(4)sin x 3cos x2sin x3.()答案(1)(2)(3)(4)2函数 f(x)2sin x2 sin 3x2 的最大值等于()A12 B32 C1 D2A f(x)2sin x2sin 3cos x2cos 3sin x2 32 sin xsin2x2 32 sinx1cos x2 32 sin x12cos x12s
11、in x6 12.f(x)max12.33 54 432，sin 40.sin 41cos 221132 33.3设 56，cos 213，则 sin 4_4 已 知 32，化 简1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos.解 原式sin 2cos 222cos 2 2sin 2sin 2cos 222cos 2 2sin 2，32，2234，cos 20.原式sin 2cos 22 2sin 2cos 2sin 2cos 222sin 2cos 2sin 2cos 22sin 2cos 22 2cos 2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!