1、第一章 立体几何初步6 垂直关系6.2 垂直关系的性质自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|理解直线和平面垂直、两个平面垂直的性质定理，并能应用它们推理论证.1直线与平面垂直的性质定理文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_符号语言：若 a，b，则_.图形语言：平行ab练一练(1)ABC 所在的平面为，直线 lAB，lAC，直线 mBC，mAC，则直线 l，m 的位置关系是_解析：由题意知，l平面，m平面.lm.答案：lm2平面与平面垂直的性质定理文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面符号语言：若，m，l，lm，则_.图形语
2、言：交线l练一练(2)在长方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AB 上任取一点E，作 EFA1B1 于 F，则 EF 与平面 A1B1C1D1 的关系是()A平行 BEF平面 A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直答案：D1线面垂直性质定理有哪些结论？答：线面垂直性质定理是把垂直问题转化为平行问题的重要方法线面垂直问题还有如下结论：(1)若 l，l，则.(2)若 l，lm，则 m.2面面垂直性质定理有何应用？答：面面垂直性质定理为从空间一点向平面作垂线提供了重要依据也可用来证明线面垂直.典例精析 规律总结课堂互动探究 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F分别在 A
3、1D，AC 上，且 EFA1D，EFAC，求证：EFBD1.【证明】连接 A1C1、DC1、B1D1.BB1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1，BB1A1C1.又B1D1A1C1 且 BB1B1D1B1，B1D1，BB1平面 BB1D1，A1C1平面 BB1D1.BD1平面 BB1D1，A1C1BD1.同理 A1DBD1.又A1C1A1DA1，BD1平面 A1C1D.EFAC，ACA1C1，EFA1C1.又EFA1D 且 A1C1A1DA1，EF平面 A1C1D，EFBD1.【规律总结】证明线线平行的方法主要有：(1)若 ab，bc，则 ac.(2)线面平行的性质定理(3)
4、线面垂直的性质定理 在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.(1)已知 ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面 ABC.证明：(1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF.连接DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF，因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.(2)设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 F
5、B 的中点，所以 HIBC，又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC.因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.如图，A，B，C，D 为空间四点，在ABC 中，AB2，ACBC 2.等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动(1)当平面 ADB平面 ABC 时，求 CD；(2)当ADB 转动时，是否总有 ABCD？证明你的结论【解】(1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.因为ADB 是等边三角形，所以 DEAB.当平面 ADB平面 ABC 时，因为平面ADB平面 ABCAB.所以 DE平面 ABC，可知 DECE.由已知可得 DE 3，EC1.在 RtDEC 中，CD DE2
6、EC22.(2)当ADB 以 AB 为轴转动时，总有 ABCD.证明：当 D 在平面 ABC 内时，因为 ACBC，ADBD，所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 ABCD.当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 ABDE.又因 ACBC.所以 ABCE.又 DECEE，所以 AB平面 CDE.又 CD平面 CDE，得 ABCD.综上所述，总有 ABCD.【规律总结】利用面面垂直性质定理可把面面垂直问题转化为线面垂直问题进而可利用线面垂直的有关性质解决问题 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点求证：
7、(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.证明：(1)在PAD 中，E，F 分别为AP，AD 的中点，EFPD.又EF平面 PCD，PD平面 PCD，直线 EF平面 PCD.(2)连接 BD，ABAD，BAD60，ABD 为正三角形因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD.平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BF平面 PAD.又BF平面 BEF，平面 BEF平面 PAD.(2018北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD，E，F 分别为 AD，PB的中点(1)求
8、证：PEBC；(2)求证：平面 PAB平面 PCD；(3)求证：EF平面 PCD.【证明】(1)PAPD，且 E 为 AD 的中点，PEAD.底面 ABCD 为矩形，BCAD，PEBC.(2)底面 ABCD 为矩形，ABAD.平面 PAD平面 ABCD，AB平面 PAD.ABPD.又 PAPD，且 PAABA，PD平面 PAB，平面 PAB平面 PCD.(3)如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，GD.F，G 分别为 PB 和 PC 的中点，FGBC，且 FG12BC.四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，EDBC，DE12BC，EDFG，且 EDFG，四边形 EFGD 为平行
9、四边形，EFGD.又 EF平面 PCD，GD平面 PCD，EF平面 PCD.【规律总结】证明平行、垂直问题是主体几何中的一种重要题型要掌握相关定理并能在定理间相互转化，灵活运用，这样才能很好的解决问题(2017 浙 江 卷)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD的中点(1)证明：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值解：(1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF，FB.E，F 分别为 PD，PA 的中点，EFAD 且 EF12AD，又BCAD，BC12AD，EFBC
10、且 EFBC，即四边形 BCEF 为平行四边形，CEBF.又 BF平面 PAB，CE平面 PAB，CE平面 PAB.(2)分别取 BC，AD 的中点为 M，N.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，Q 为 EF 的中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE.由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD.AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，QMH 是直线 CE 与平面
11、 PBC 所成的角设 CD1.在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 2得 CE 2，在PBN 中，由 PNBN1，PB 3得 QH14，在 RtMQH 中，QH14，MQ 2，sinQMH 28，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 28.如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是侧棱BB1 的中点，求证：平面 ADC1平面 A1ACC1.【错解】证明：D 是棱 BB1 的中点，BDB1D，又三棱柱为正三棱柱，ABB1C1，ABDC1B1D，ABDC1B1D，ADC1D.取 AC1 的中点 E，连接 DE，则 DEAC1，平面 ADC1平面 A1ACC1.【错因分析】对于
12、DEAC1 这一结论未给出严格证明，同时，说明面面垂直时，不满足面面垂直的判定条件【正解】证明：如图取 AC1 的中点 E，连接 DE，取 A1C1的中点 F，连接 EF，FB1，则 EF12A1A.又D 为 B1B 的中点，B1D12A1A.EFB1D.四边形 EDB1F 为平行四边形DEB1F.又三棱柱 ABCA1B1C1 为正三棱柱，B1FA1C1.又B1FAA1，AA1A1C1A1，B1F面 A1ACC1.DE面 A1ACC1.DE面 ADC1，面 ADC1面 A1ACC1.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 线面垂直的性质1下列命题中正确的是()A垂直于同一条直线的两条直线平行B
13、垂直于同一条直线的两条直线垂直C垂直于同一个平面的两条直线平行D垂直于同一条直线的直线和平面平行答案：C2如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，则过 M 且与直线 AB 和 B1C1 都垂直的直线有()A1 条 B2 条C3 条D无数条解析：显然 DD1 是满足条件的一条，如果还有一条 l 满足条件，则 lB1C1，lAB.又 ABC1D1，则 lC1D1.又 B1C1C1D1C1，l平面 B1C1D1.同理 DD1平面 B1C1D1，则 lDD1.又 l 与 DD1 都过 M，这是不可能的，因此只有 DD1 一条满足条件答案：A3(2017全国卷)在正方体 A
14、BCDA1B1C1D1 中，E 为棱CD 的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC解析：由正方体的性质知A1B1BC1，B1CBC1，BC1平面 A1B1CD.又 A1E平面 A1B1CD，A1EBC1.答案：C知识点二 面面垂直的性质4如图，空间四边形 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，BAD90，且 ABAD，则 AD 与平面 BCD 所成的角是_解析：过 A 作 AOBD 于 O 点，平面 ABD平面 BCD，AO平面BCD.则ADO即为AD与平面 BCD 所成的角BAD90，ABAD.ADO45.答案：45知识点三 线面关系的综合问题5(2018全国卷)
15、如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由解：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为CD.因为 BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故BCDM.因为 M 为上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)存在理由如下：当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：连接 AC 交 BD 于 O.因为ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，因为 P 为 AM 的中点，所以 MCOP.因为 MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块