1、山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 10.3 二项式定理山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 10.3 二项式定理双基研习面对高考 山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回双基研习面对高考 基础梳理1二项式定理(ab)n_右边的多项式叫做(ab)n的_，其中各项的系数C(r0,1，n)叫做_，式中的第
2、r1项Canrbr叫做二项展开式的通项，记作_.二项展开式二项式系数Tr1CanrbrCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2二项式系数的性质(1)对 称 性：在 二 项 展 开 式 中，与 首 末 两 端“_”的两个二项式系数相等，即 C0nCnn，C1nCn1n，C2nCn2n，CrnCnrn.(2)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn12 时，二项式系数是递减的等距离山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面
3、对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回当n是偶数时，中间一项_取得最大值当n是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值nnC 2nnC12nnC12山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回(3)各二项式系数的和(ab)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即C0nC1nC2nCrnCnn_.(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数之和，即 C1nC3nC5nC0nC2n_.2n2n1山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对
4、高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回思考感悟(ab)n的展开式中与(ba)n的展开式中第r1项一定相同吗？提示：不一定(ab)n的第 r1 项为 Crnanrbr，而(ba)n 的第 r1 项为 Crnbnrar.要注意二者之间的前后对应关系山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回课前热身1(教材例 2 改编)(2 x 1x)6 的展开式倒数第三项为()A160 B.60 xC240 xD160 x答案：B山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向
5、瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回答案：C2(1x2)5 的展开式中 x2 的系数为()A10 B5C.52D1山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回答案：C2(1x2)5 的展开式中 x2 的系数为()A10 B5C.52D1山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回答案：C3(1x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是()A第n21 项B第 n 项C第 n1 项D第 n 项与第 n1 项山东水浒书业有限公司 优
6、化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回4(13x)8a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a8_.答案：2555设 nN*，则 C0n2nC1n2n1(1)kCkn2nk(1)nCnn等于_答案：1山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回考点探究挑战高考 考点突破 二项展开式中指定项的有关问题 求展开式中某特定项(如有理项、常数项)或某指定项(如第r1项、含xr项)以及某指定项的系数、二项式系数等问题，通常是抓住通项公式不放山东水浒书业有限公
7、司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思路分析】首先利用系数概念求出n；再用通项公式求常数项已知(x2 1x)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 314，则展开式中常数项是()A1 B1C45 D45例1山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【答案】D【解题感受】关键是确定r的取值或范围【解析】由题意得C2nC4n 314，即 n25n500，n10.Tr1Cr10(x2)10r(1x)rCr10(1)rx2052r，2052
8、r0.r8，常数项 C810C21045.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回这类问题，一般采取“赋值”法，令二项式中的字母取特殊的数，构造出要求的和的形式二项展开式的系数和问题 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a7a6a1；(2)a7a5a3a1；(3)a6a4a2a0.例2山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思路分析】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，即“赋值法”整体解决山
9、东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【解】(1)令 x0，则 a01；令 x1，则 a7a6a1a027128，a7a6a1129.(2)令 x1，则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由2得：a7a5a3a112128(4)78256.(3)由2得 a6a4a2a012128(4)78128.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思维总结】求所有项的系数和，令变量取“1”，构造a0a1a2an的形式互动探究
10、1 在本例中，求|a1|a2|a7|.解：(3x1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，|a7|a6|a1|(a1a3a5a7)(a0a2a4a6)a08256(8128)116383.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回求二项展开式中系数最大(小)项 如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第 r1 项系数最大，应用ArAr1ArAr1解出 r 来，即得系数最大项山东水浒书业有限
11、公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思路分析】首先求出n值，再确定当系数绝对值最大时r的取值已知(x 2x2)n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 101.求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项例3山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【解】由题意知，第五项系数为 C4n(2)4，第三项的系数为 C2n(2)2，则有C4n24C2n22101，化简得 n25n240，解得 n8 或 n3(舍去)设展开式中的
12、第 r 项，第 r1 项，第 r2 项的系数绝对值分别为 Cr182r1，Cr82r，Cr182r1，山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回若第 r1 项的系数绝对值最大，则Cr18 2r1Cr82r，Cr182r1Cr82r，解得 5r6.又 T6 的系数为负，系数最大的项为 T71792x11.由 n8 知第 5 项二项式系数最大，此时 T51120 x6.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思维总结】注意本
13、题中的项的系数有正有负，与r奇、偶性的关系互动探究2 在本例展开式中系数最小的项是第_项，其系数为_解析：由上述解答可知，T6 的系数为负，且绝对值最大，则 T6 的系数为最小其值为C58251792.答案：6 1792山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回对于整除问题的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除；而对于近似计算，借助于二项展开式，省略后面的一些，作一些近似计算用二项式定理证明整除或近似计算 山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛
14、书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【思路分析】将已知表达式整理化简，转化为二项式定理问题再根据题意把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某个数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑最后面(或最前面)的一、二项即可求解(1)求证：122225n1(nN*)能被31 整除；(2)求 SC127C227C2727除以 9 的余数例4山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【解】(1)证明：122225n125n12125n132n1(311)n1
15、C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn131(C0n31n1C1n31n2Cn1n)，显然上式括号内为整数原式能被 31 整除山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回(2)SC127C227C27272271891(91)91C0999C1998C899C9919(C0998C1997C89)29(C0998C1997C891)7，显然上式括号内的数是正整数，S 除以 9 的余数为 7.【误区警示】解答(1)时误认为项数为5n1项而出错解答(2)时误认为余数为2出错山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛
16、书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回方法技巧1利用二项展开式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，如通常的解法就是确定通项公式中r的值或取值范围如例1.方法感悟山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2解决二项式指数是未知数的问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中的n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项如例2.山
17、东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回3赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a、b、n的恒等式除了正用、逆用这个恒等式，还可以根据系数和的特征，让a，b取相应的特殊值，从而得到要求(或证)的式子至于特殊值a，b如何选取，视具体问题而定如例2.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回例如：若(axb)na0a1xa2x2anxn，则设 f(x)(axb)n.有：(1)常数项 a0f(0)；(2)
18、各项系数之和 a0a1a2anf(1)；(3)a0a1a2a3(1)nanf(1)；(4)奇 数 项 系 数 之 和 为 a0 a2 a4 a6 f1f12；(5)偶 数 项 系 数 之 和a1 a3 a5 a7 f1f12.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回4应用二项式定理证明整除性问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项都能被另一个式子整除即可因此一般要把被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开此时可采用“配凑法”
19、、“消去法”结合整除的有关知识来求解如例4.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回1要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同2“赋值法”是求二项展开式系数问题常用方法注意取值有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值解题易出现漏项等情况，应引起注意切不可盲目代入x1或x1，如例2.失误防范山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回3利用二项式定理求余数问题时，要注意被除式f(x
20、)与除式g(x)(g(x)0)，商式q(x)与余式r(x)的关系；f(x)q(x)g(x)r(x)，特别要注意余式r(x)的范围余数不可为负数如例4.4二项展开式中，系数的最大与最小要注意n的奇偶性与函数的正负变化之间的关系如例3.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回考向瞭望把脉高考 考情分析从近两年的高考试题来看，二项式定理是必考内容之一，考查的形式主要为选择题或填空题，也可能与数列问题融合在某一问题中出现内容主要表现在：求展开式中的特定项、展开式系数和以及二项式定理的应用，均属基础题或中档题山东水浒
21、书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回在2010年的高考中，非课标地区的高考试卷全都考查了这部分知识其中有七套试卷考查了展开式中特定项的系数，只有四川卷考查了展开式中的特定项(常数项)，江西理考查了系数和的问题，都是紧紧抓住通项公式Tr1.预测2012年高考在本节会出一道选择题或填空题，较大可能是求展开式中特定项或特定项的系数山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回命题探源(2010 年高考四川卷)(x2x)4 的展开式中的常
22、数项为_(用数字作答)例【解析】Tr1Cr4x4r(2x)r(2)rCr4x42r.当 r2 时，第 3 项为常数项，T3(2)2C2424.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回【答案】24【名师点评】本题主要考查了二项式定理及二项展开式的知识，属于基础题在教材中此类题很常见，特别与教材习题 10.4 中第 7 题(1)推证(x1x)2n的展开式中常数项很类似，目的是熟练运用二项展开式的通项公式山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点
23、探究挑战高考 返回名师预测1若(x 12x)n的展开式中第 3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为()A.132 B.164C 164D.1128解析：选 B.C2n15，n6.令 x1，所有项的系数之和为(112)6 164.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回2在(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数是()A135 B135C375 D117解析：选 A.(1x)10 展开式的通项公式为 Tr1Cr10(x)r(1)rCr10 xr，于是 T5C410 x4，T4C310
24、x3，T3C210 x2，含 x4 项的系数是 C410C310C210135.山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回3(x 13x)10 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数共有_项解析：(x 13x)10 的展开式通项为Cr10(x)10r(13x)rCr10(13)rx103r2.当 r0,2 时，x 的幂是正整数，因此含 x 的正整数次幂的项共有 2 项答案：2山东水浒书业有限公司 优化方案系列丛书第10章 排列、组合和二项式定理双基研习面对高考 考向瞭望把脉高考 考点探究挑战高考 返回答案：115204(2x1x)10 的二项展开式中 x2 项的系数为_(用数字作答)解析：Tk1Ck10(2 x)10k(1x)k(1)k210kCk10 x532k.令 532k2，得 k2.x2 的系数为(1)228C21028C21011520.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用