1、-1-2 空间向量的运算-2-第1课时 空间向量的线性运算ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.2.能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何问题.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.空间向量的加法设 a 和 b 是空间两个向量,过一点 O 作 a 和 b 的相等向量 和 ,根据平面向量加法的平行四边形法则,平行四边
2、形的对角线对应的向量 就是a 与 b 的和,记作 a+b.2.空间向量的减法与平面向量类似,a 与 b 的差定义为 a+(-b),记作a-b,其中-b 是 b 的相反向量.说明:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即12 +23 +34 +-1 =1 .ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航(2)首尾顺次相接的若干向量,若构成一个封闭图形,则它们的和为 0.如图,+=0.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI
3、 TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航【做一做 1】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为1 的共有()(+)+1 ;(1 +11 )+11 ;(+1 )+11 ;(1 +11 )+11 .A.1个B.2个 C.3个D.4个 ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 解析:(+)+1 =+1 =1 ;(1 +11 )+11 =1 +11 =1 ;(+1 )+11 =1 +11 =1 ;(1 +11 )+11 =1 +11 =1 ,故选D.答案
4、:D ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 3.运算律 空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同,表示如下:(1)结合律(a+b)+c=a+(b+c);(2)交换律 a+b=b+a.说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航【做一做 2】化简2 +2 +3 +3 +=_.解析:2 +2 +
5、3 +3 +=2 +2 +2 +2 +=0.答案:0 ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 4.空间向量的数乘 空间向量a与一个实数的乘积是一个向量,记作a.满足:(1)|a|=|a|;(2)当0时,a与a方向相同;当0时,a与a方向相反;当=0时,a=0.5.空间向量的数乘运算律 空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同,表示如下:(1)a=a(R);(2)(a+b)=a+b,(+)a=a+a(R,R);(3)()a=(a)(R,R).ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANG
6、YANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 6.共线向量定理 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数,使得a=b.说明:向量共线的充要条件强调b为非零向量,若b为零向量,则a=b中的a只能为0,没有研究的意义.【做一做3】若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为 .解析:由题可知,2ke1-e20,且e1+2(k+1)e20.若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数,使得2ke1-e2=e1+2(k+1)e2成立.2=,-1=2(+1),k=12.答案:12ZHISHI
7、 SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 向量的加法、减法运算 【例1】如图,已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式,并在图中画出化简结果的向量.(1);(2)+.(3)+.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)=+=.(2)+=(+)+=+=.(3)+=,+=,+=0.故 +=0.向量 ,如图所示.ZHISHI SHULI知识梳
8、理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:(1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”;(2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”;(3)平行四边形法则:“起点重合”;(4)多边形法则:“首尾相接,指向终点”.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 1】如图所示,已知平行六面体 ABCD-ABCD,点
9、M 是棱 AA的中点,点 G 在对角线 AC 上,有 CGGA=21,设 =a,=b,=c.试用向量 a,b,c 表示向量 ,.解:=+=a+b.=+=a+b+c.=+=+12 =a+b+12.=23 =23(a+b+c).ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二数乘向量的概念与运算【例 2】如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,M 是 BB1的中点,化简下列各式:(1)+1 ;(2)+12 1 ;(3)1 .分析:本题综合运用向量的加法、减法、数乘运算.(
10、2)中的12 1 要结合数乘向量的几何意义转化为一个新的向量.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)+1 =1 .(2)因为 M 是 BB1 的中点,所以 =12 1 .又1 =1 ,所以 +12 1 =+=.(3)1 =1 =1 .反思数乘向量的运算一般是结合所给几何体,联系数乘向量的几何意义转化为一个新的向量.若同时涉及几个数乘向量,则还要注意数乘向量运算律的运用.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TO
11、UXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】在空间四边形 OABC 中,连接OB,AC,=a,=b,=c,点 M为ABC的重心,试将 用a,b,c表示出来.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:如图所示,连接 AM 并延长交 BC 边于点 N,则 N 为 BC 的中点,连接 ON,则 =12(+).又 =+,而 =23 ,=,所以 =+23 =+23()=+23 12(+)23 =13(+)=13(a+b+c).ZHI
12、SHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三向量共线问题【例 3】如图所示,四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M,N 分别是 AC,BF 的中点,判断 与 是否共线.分析:根据向量共线定理,证明存在实数,使 =或 =.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:M,N 分别是 AC,BF 的中点,四边形 ABCD,ABEF 都是平行
13、四边形,=+=12 +12 .又 =+=12 +12 ,12 +12 =12 +12 ,=+2 +=2(+)=2 ,即 与 共线.反思判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件:ab,b0,则存在唯一实数使a=b;若存在唯一实数,使a=b,b0,则ab.(2)判断向量共线的关键是找到实数.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【变式训练 3】如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是AB,CD 的中点,请判断向量 与 +是否共线?解:如图,取AC的中点记
14、为G,连接EG,FG,=12 ,=12 ,又 ,共面,=+=12 +12 =12(+).故 与 +共线.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5 61.设a,b是两个不共线的向量,R,若a+b=0,则()A.a=b=0B.=0 C.=0,b=0D.=0,a=0 解析:a,b是两个不共线的向量,a0,b0,故只有B正确.答案:B ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2
15、3 4 5 62.下列说法正确的是()A.以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体B.设平行六面体的三条棱是 ,1 ,则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 +1 +C.若 =12(+)成立,则点一定是线段的中点D.在空间中,若向量 与 是共线向量,则,四点共面答案:DZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5 63.化简 +所得的结果是()A.B.C.0D.解析:+=+=0,故选 C.答案:C ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIA
16、NLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5 64.下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是()A.+=B.=C.=D.|=|解析:由 =,知 与 共线,又因有一共同的点 B,故A,B,C三点共线.答案:C ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5 65.在空间四边形 ABCD 中,连接 AC,BD.若BCD 是正三角形,且 E为其中心,则 +12 32 的化简结果为_.解析:如图,延长 DE 交 BC 于点 F,根据题意知 F
17、 为 BC 的中点.因为 E 为正三角形 BCD 的中心,所以 =23 ,即 =32 ,所以 +12 32 =()+32 =+=0.答案:0ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5 66.如图所示,P 为平行四边形 ABCD 外一点,O 为平行四边形 ABCD对角线的交点.求证:+=4 .分析充分利用向量的三角形法则及平行四边形法则.证明因为 =+,=+,=+,=+,将以上四式相加,得 +=4 +.因为O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 +=0,+=0,所以 +=4 .
