1、第一章 立体几何初步6 垂直关系6.1 垂直关系的判定自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1理解线面垂直及面面垂直的概念2掌握线面垂直、面面垂直的判定定理.1直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的_都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直任何一条直线2直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的_直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(2)图形语言：(3)符号语言：若_，_，la，lb，_，则 l.两条相交ababA练一练(1)一条直线与三角形的两边分别垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ()A平行 B垂直C相交但不垂直D无法确定答案：B3二面角及其
2、平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成_，其中的_都叫作半平面(2)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的_，_叫作二面角的面两部分每一部分两个半平面棱这两个半平面(3)二面角记法：以直线 AB 为棱、半平面，为面的二面角，记作_.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上_为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的 角 叫 作 二 面 角 的 平 面 角，平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 作_二面角AB任一点垂直于棱直二面角练一练(2)正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 BD1D 与平面D1C1CD 所成的角为_答
3、案：454两个平面互相垂直(1)两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理文字语言：如果一个平面经过_，那么这两个平面互相垂直直二面角另一个平面的一条垂线图形语言：符号语言：若_，_，则.直线 aa平面 练一练(3)已知 PA矩形 ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有()A1 对 B2 对C3 对D5 对解析：因为 DAAB，DAPA，ABPAA，所以 DA平面 PAB，同理 BC平面 PAB，又 AB平面 PAD，所以 DC平面PAD，所以平面 PAD平面 AC，平面 PAB平面 AC，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，平面 P
4、DC平面 PAD，共 5对，故选 D.答案：D1理解直线与平面垂直应注意什么？答：直线与平面垂直的定义中，“任意”即“所有”的意思，要与“无数”区别开；定义还包含另一层含义，即若直线与平面垂直，则该直线与平面内任意直线都垂直2二面角的平面角与二面角有何关系？答：二面角的平面角的大小就是二面角的大小3证明面面垂直有哪些方法？答：证明平面与平面垂直，可以通过定义证明也可利用面面垂直的判定定理来证明典例精析 规律总结课堂互动探究 如图，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形，PAAD，M，N 分别是 AB，PC 的中点求证：MN平面PCD.【证明】取 PD 的中点 E，连接 AE，NE
5、.PA平面 ABCD，CD平面 ABCD.PACD.ABCD 为矩形，CDAD.又PAADA，PA平面 PAD，AD平面 PAD，CD平面 PAD.CD平面 PAD.AE平面 PAD，CDAE，即 AECD.PAAD，E 为 PD 中点，AEPD.又PDCDD，PD平面 PCD，CD平面 PCD，AE平面 PCD.AE平面 PCD.EN12CD12ABAM，四边形 AMNE 为平行四边形AEMN，MN平面 PCD.【规律总结】要证线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，又要借助另一组线面垂直来实现 如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1.(1)求证：AC平面 B1D1DB;(2)求证
6、：BD1平面 AC B1.证明：(1)BB1平面 ABCD，且 AC平面 ABCD，BB1AC.又 ACBD，BDBB1B，AC平面 B1D1DB.(2)连接 A1B.由(1)知 AC平面 B1D1DB，BD1平面 B1D1DB，ACBD1.A1D1平面 A1B1BA，AB1平面 A1B1BA，A1D1AB1.又A1BAB1 且 A1BA1D1A1，AB1平面 A1D1B.BD1平面 A1D1B，BD1AB1，又ACAB1A，BD1平面 ACB1.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PDa，PAPC 2a，求证：(1)PD平面 ABCD；(2)平面 PAC平面 P
7、BD.【证明】(1)PDa，ADa，PA 2a，PA2PD2AD2，PDAD.同理可证：PDCD.又ADCDD，PD平面 ABCD.(2)由(1)知 PD平面 ABCD，则 PDAC.在正方形 ABCD 中，BDAC.又 BDPDD，AC平面 PBD.又 AC平面 PAC.平面 PAC平面 PBD.【规律总结】证明面面垂直，常用两种思路：(1)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，转化为线面垂直，进一步转化为面面垂直(2)证明两个平面所对应的二面角的平面角是直角 三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 B1C1CB 是菱形，B1CA1B.求证：平面 A1BC1平面 AB1C.证明：侧面 B1C1
8、CB 是菱形，B1CBC1，又 B1CA1B，A1BBC1B，B1C平面A1BC1.又 B1C平面 AB1C，平面 A1BC1平面 AB1C.如图，已知 SA平面 ABC，ABBC，SAAB，SBBC，E 是 SC 的中点，DESC 于 E，求二面角 EBDC 的大小【解】SBBC，E 为 SC 中点，BESC.又 DESC，DEBEE，SC平面 BDE，BD平面 BDE.SCBD.又SA平面 ABC，BD平面 ABC，SABD.又 SASCS，SA，SC平面 SAC，BD平面 SAC.BD平面 SAC.DE平面 SAC，DC平面 SAC，BDDE，BDDC.即EDC 为二面角 EBDC 的平
9、面角设 SAABa，则 SBBC 2a.ABBC，AC 3a.RtSAC 中，SC2SA2AC24a2，SC2a.sinSCA12，SCA30.RtDEC 中，EDC60，即二面角 EBDC 的大小为 60.【规律总结】求二面角大小问题，首先应合理找出或作出二面角的平面角，按“作证求”的步骤解决找二面角主要有两种方法：(1)定义法(2)垂面法，即过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB4，点 E 在 CC1 上且 C1E3EC.(1)证明：A1C平面 BED；(2)求二面角
10、 A1DBE 的正弦值解：依题设，AB2，CE1.(1)证明：连接 AC 交 BD 于点 F，则 BDAC.又BDAA1，BD平面 A1AC，BDA1C.在平面 A1CA 内，连接 EF 交 A1C 于点 G，由于AA1FCACCE2 2，故 RtA1ACRtFCE，AA1CCFE，CFE 与FCA1 互余于是 A1CEF.A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，所以 A1C平面 BED.(2)连接 A1F，因为 A1BA1D，DFFB，所以 A1FBD，又因为 DCBC，所以 EFBD，故A1FE 是二面角 A1DBE 的平面角EFCF2CE2 3，CGCECFEF 23
11、，又 A1C AA21AC22 6，A1GA1CCG5 63.A1F A1A2AF2 1623 2.所以 sinA1FGA1GA1F5 633 25 39.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 PA2AD，二面角 PCDA 的平面角为，则 tan_.【错解】PA平面 ABCD，PCA 是二面角 PCDA 的平面角，PCA，在RtPAC 中，PAAC，AC 2AD，又 PA2AD，PA 2AC，tantanPCAPAAC 2，故填2.【错因分析】对二面角的定义理解不准，PC、AC 与二面角的棱 CD 不垂直，PCA 不是所求二面角的平面角【正解】
12、PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD，又 ADCD，ADPAA，AD，PA平面 PAD，CD平面 PAD.CD平面 PAD.又 PD平面 PAD，CDPD，PDA 为二面角 PCDA 的平面角RtPAD 中，tanPAAD2ADAD 2.【答案】2即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 线面垂直的判定1下面叙述中：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线其中正确的有()A1 个 B
13、2 个C3 个D4 个解析：错误，与相交直线垂直才可判定线面垂直；正确；正确；错误，直线垂直于梯形两底边所在的直线，但不一定与梯形所在平面垂直，也不一定垂直于两腰所在直线答案：B2如图所示，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是边 G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点现沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体(如图所示)，使 G1，G2，G3 三点重合于点 G，这样，下面结论成立的是()ASG平面 EFGBSD平面 EFGCGF平面 SEFDGD平面 SEF解析：翻折后，SGGE，SGGF，且 GEGFG.SG平面 GEF.答案：A知识点二 面面垂直的判定3空间四
14、边形 ABCD 中，若 ADBC，BDAD，则有()A平面 ABC平面 ADCB平面 ABC平面 ADBC平面 ABC平面 DBCD平面 ADC平面 DBC解析：如图，ADBC，BDAD，又 BCBDB，AD平面 BCD，又 AD平面 ADC，平面 ADC平面 DBC.答案：D知识点三 二面角4如图所示，在三棱锥 DABC 中，若 ABBC，ADCD，E 是 AC 的中点，则二面角 DACB 的平面角是_解析：ABBC，E 为 AC 的中点，BEAC.又 DADC，DEAC.又平面 DAC平面 ABCAC，二面角 DACB 的平面角是DEB.答案：DEB5从二面角 l 内一点 P 向两个面，分别作垂线 PE，PF，E，F 为垂足，若二面角 l 的大小为 60，则EPF 的大小为_解析：设平面 PEF 与棱 l 交于一点 O，在四边形 PEOF 中，PEOPFO90，且EOF60，EPF120.答案：120word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块
