1、第二章 解析几何初步2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1理解直线和圆的三种位置关系2能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系.1 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 有 三 种，分 别 是 直 线 与 圆_、直线与圆_、直线与圆_相离相切相交2直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系及判断：位置关系相交相切相离公共点个数_个_个_个判定方法几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2_2 1 0 drdrdr位置关系相交相切相离判定方法代数法：由AxByC0，xa2yb2r2 消元得到
2、一元二次方程的判别式 _0 0 0 练一练直线xy10与圆x2y21的位置关系是()A相离 B相切C相交D不能确定解析：d 121.直线与圆相交答案：C1判断直线与圆的位置关系主要思路有哪几种？答：(1)比较圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系；(2)直线方程与圆方程联立，消元判断.2求圆的切线方程时，应注意什么问题？答：注意讨论直线斜率是否存在典例精析 规律总结课堂互动探究 已知圆的方程 x2y22，直线 yxb，当 b 为何值时：(1)直线与圆有两个交点；(2)直线与圆有一个交点；(3)直线与圆没有交点【解】圆 x2y22 的圆心为 O(0,0)，半径 r 2，圆心 O 到直线 yxb
3、 的距离 d|b|2.(1)当 dr，即|b|2 2|b|2，2br，即|b|2 2|b|2，当 b2 或 b0，(x1)(x2)0，x11，x22，则 y13，y20.交点坐标为(1,3)，(2,0).已知直线 l 经过点 A(4，3)，且与圆 C：(x3)2(y1)21 相切，求直线 l 的方程【解】由点 A 到圆心 C 的距离432312 171，所以点 A 在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y3k(x4)因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，所以|3k134k|k211，即|k4|k21.所以 k28k16k21，解得 k158.所以切线方程为 y3
4、158(x4)，即 15x8y360.若切线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线 x4 的距离也为 1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x4，综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4.【规律总结】过一点求圆的切线问题，先判断此点是否在圆上，若在圆上，可先求出切线的垂线的斜率，进而求出切线斜率与切线方程；若点在圆外，则判断切线斜率是否存在，若存在斜率，则设出点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率进而求出切线方程 已知直线过点 P(4,0)，且与圆 x2y28 相切，求切线的方程解：解法一：若所求直线的斜率存在，设过点 P(4,0)的切线的斜率为 k，则切线的方程为
5、yk(x4)由ykx4，x2y28消去 y，得x2k2(x4)28，即(1k2)x28k2x16k280.判别式(8k2)24(1k2)(16k28)32(k21)令 0，得 k1.切线方程为 xy40 或 xy40.若所求直线的斜率不存在，圆心(0,0)到直线 x4 的距离为4，大于半径，所以不符合，舍去解法二：若所求直线的斜率存在，设过点 P(4,0)与圆 x2y28 相切的方程为 yk(x4)，则圆心(0,0)，半径 r2 2，圆心到切线 yk(x4)的距离 d|k|k212 2，即 k21，k1.切线方程为 xy40 或 xy40.若所求直线的斜率不存在，圆心(0,0)到直线 x4 的
6、距离为4，大于半径，所以不符合，舍去.已知圆 C 过点 A(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被该圆所截得的弦长为 2 2，求圆 C 的标准方程【解】解法一：设圆的方程为(xa)2y2r2(a0)，r|a1|则(xa)2y2(a1)2.设直线与圆交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)由方程组yx1，xa2y2a12，得 x2(a1)xa0，x11，x2a.M(1,0)，N(a，a1)|MN|a12a122 2.即 a22a30，a1 或 a3.又a0，a3.圆方程为(x3)2y24.解法二：设圆的方程为(xa)2y2r2，其中 a0，r|a1|.圆心(a,0)到直线
7、xy10 的距离 d|a1|2.由题意得：|a1|22(2)2|a1|2，整理得：a22a30，a3 或 a1(舍)，圆的方程为(x3)2y24.【规律总结】求弦长常用方法有代数法和几何法代数法：将直线方程与圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点间距离公式求弦长设直线斜率为 k，直线方程与圆方程 联 立，消 去 y 后 所 得 方 程 两 根 为 x1，x2.则 弦 长 d 1k2x1x224x1x2.几何法：设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则有l22d2r2，l2 r2d2.设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_解析
8、：圆 C 的方程可化为 x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为 C(0，a)，半径 r a22，所以圆心到直线 xy2a0 的距离为|a2a|2|a|2，所以|a|22(3)2(a22)2，解得 a22，所以圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4.答案：4 已知直线 l：y33 xm 与圆 x2y21 在第一象限内有两个不同的交点，求 m 的取值范围【错解】直线方程可化为 3x3y3m0，圆的圆心为(0,0)，半径为 1.若直线和圆相切，则 d|3m|391，解得 m2 33.直线与圆在第一象限有两个不同的交点，当直线过圆与 x 轴正半轴交点时，m 33.m 的取值范围是33，2 33
9、.【错因分析】在解答平面解析几何问题时，应注意结合图形，并尽量准确的画出图形，错解中，对直线的斜率把握不准，致使解答错误【正解】直线方程可化为 3x3y3m0，圆 x2y21 的圆心为(0,0)，半径为 1.若直线和圆相切，则 d|3m|391，解得 m2 33，如图所示，在平面直角坐标系中，l1的方程为 y 33 x2 33，当直线 y 33 xm 过点 A(0,1)时，m1，即 l2 的方程为 y 33 x1.当直线 l 位于 l1 与 l2 之间时，直线与圆在第一象限内有两个不同的交点此时，m1，2 33.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 直线与圆的位置关系1圆(x1)2y21 与
10、直线 y 33 x 的位置关系是()A相交 B相切C相离D直线过圆心解析：圆心(1,0)到直线 y 33 x 的距离d33332112r1，圆与直线相交答案：A知识点二 圆的切线问题2圆(x1)2(y 3)21 的切线方程中有一个是()Axy0 Bxy0Cx0 Dy0解析：圆心(1，3)，半径 r1，圆心到切线的距离等于半径，代入验证知，应选 C.答案：C3过点 P(0,1)的直线与圆 x2y24 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为()A2 B2 3C3 D2 5解析：当 ABOP 时|AB|的值最小，此时|AB|2 R2|OP|22 412 3.答案：B4由直线 yx1 上的一点向圆
11、(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为()A1 B2 2C.7D3解析：圆心(3,0)到直线 xy10 的距离 d312 2 2，切线长的最小值为 d2r2 7.答案：C知识点三 弦长问题5一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，求此圆的方程解：所求圆的圆心在直线 x3y0 上，且与 y 轴相切，可设圆心(3a，a)，半径 r3|a|.又圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心到直线的距离d|3aa|2 2|a|.由 d22 722r2，得 2a279a2，a1.此圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块