1、高考资源网（ ），您身边的高考专家97立体几何中的向量方法一、选择题1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：建立空间直角坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案：B2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1A解析：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体
2、棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)显然00，即CEBD.答案：B3在90的二面角的棱上有A、B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，CD5，则BD()A4 B5 C6 D7解析：由条件知ACAB，BDAB，ACBD，又，2()2|2|2|23252|2(5)2，|216，BD4.答案：A4已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.
3、解析：如图建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC平面BB1D1D，(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量又(0,4,2)，cos，.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案：C5二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150B45C60D120解析：由题意知与所成角即为该二面角的平面角，2222222.(2)26242822|cos，116268cos，cos，120，60，该二面角的大小为60.答案：C6如图所示，在正方体AB
4、CDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a)(，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)0.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B二、填空题7设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_解析：由已知a、b分别是平面、的法向量ab2640，ab，.答案：垂直
5、8正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030. 答案：309矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G为BC中点，K为AFD的外心，沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，则此时KG的长是_解析：如图，过K作KMEF于M，
6、则M为EF的中点，连接MG，则KMG120.在KMG中，MG1，KM1.2112113|.答案：三、解答题10(2013新课标全国卷)如图，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值解析：(1)证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D为AB中点，连接DF，BC1，则BC1DF.DF平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB得ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,
7、2,1)，A1(2,0,2)则(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.11(2013江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，D(1,1
8、,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2, 4)，(2,0，4)，(1，1，4)cos，.异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)， (1,1,0)，(0,2,4)，n10，n10，即xy0且2y4z0，取z1，得x2，y2，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为.由cos，得sin.因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.12如图所示的正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB
9、(如图)在图中：(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由(2)求二面角EDFC的余弦值(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？证明你的结论解析：(1)在ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF.AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，1)，F(1，0)平面CDF的法向量为(0,0,2)，(1，0)， (0，1)设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n.(3)假设存在点P，使APDE.设P(x，y,0)，(x，y，2)，则y20，y，又(x2，y,0)，(x,2y,0), ，(x2)(2y)xy.xy2.把y代入上式得x，.在线段BC上存在点P使APDE.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。