1、2020-2021学年上学期宣化一中高二年级月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 3. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值为A. 5B. 6C. 7D. 84. 已知，则的值为A. B. C. D. 5. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在
2、他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 A. B. C. D. 6. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. 7. 已知函数，直线与函数的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知直线：与直线：相交于点P，线段AB是圆C：的一条动弦，且，点D是线段AB的中点则的最大值为A. B. C. D. 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法中正确的是A. 在
3、频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等B. 若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥C. 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中D. 若回归直线的斜率，则变量x与y正相关10. 设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则下列结论正确的是A. B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切11. 记函数的图象为曲线F，则下列结论正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上单调递增C. 曲线F关于直线对称D. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到曲线F12. 已知，下列不等式成立的是A. B. C. D. 三、填
4、空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面上，、是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值_14. 已知正方体的棱长为2，M、N分别为、AB的中点，则三棱锥的体积为_15. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为_16. 已知函数，实数m，n满足，且，若在区间上的最大值是2，则的值为_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在，的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinC的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，
5、_？18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源，某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投人生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年年为第一年，该设备产生的效益纯利润总额为y万元写出y与x之间的函数关系式；求出从第几年开始，该机床开始盈利盈利总额为正值；使用若干年后，对设备的处理方案有两种：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的
6、理由19. 如图1，在矩形ABCD中，点E在线段BC上，把沿AE翻折至的位置，平面AECD，连结，点F在线段上，如图2当平面平面AECD时，求三棱锥的体积；证明：平面20. 某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据2，其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积单位：公顷和这种野生动物的数量，并计算得，求该地区这种野
7、生动物数量的估计值这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数；求方案二抽取的样本2，的相关系数精确到；并判定哪种抽样方法更能准确的估计附：相关系数，；相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强21. 已知数列的前n项和为，求证：数列是等比数列；设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值22. 已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，椭圆C的另一个焦点是，且求椭圆C的方程；已知圆：，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆外切，直线l是圆P和圆的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，
8、当圆P的半径最长时，求三角形的面积2020-2021学年上学期宣化一中高二年级月考数学试卷（12月份）答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称量词命题与全称量词命题的否定关系，是基础题利用特称量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可【解答】解：因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是：，故选：C2.【答案】A【解析】解：，且，解得，的取值范围是故选：A根据即可得出，然后解出a的范围即可本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题3.【答案】B【解析】解：甲组学生成绩的平均数是88，又乙组学生的成绩的中位数是
9、89，故选：B利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果本题考查茎叶图，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用4.【答案】A【解析】解：因为，所以故选：A由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题5.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质根据题意，对取对数可得，即可得，分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，对于，有，则，分析选项：B中与其最接近，故选：B6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查空间几何体
10、中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B7.【答案】D【解析】解：函数的图象如下：四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是的两根，由于时，判别式为，即有，且，故选：D画出与的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强8.【答案】D【解析】解：由题意得圆C的圆心为，半径，易知直线
11、：恒过点，直线：恒过，且，点P的轨迹为，圆心为，半径为，若点D为弦AB的中点，位置关系如图：连接CD，由，得，故选：D由圆的方程求得圆心C的坐标与圆C的半径，再求出两直线与的交点P的轨迹方程，画出图形，求出的最大值，则的最大值可求本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题9.【答案】AD【解析】解：对于选项A：在频率分布直方图中，中位数是排序后的中间数据，左边和右边的直方图的面积相等，故正确对于选项B：若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥，不一定互斥，可以有重叠关系，故错误对于选项C：某个班级内有40名学生，抽10名同学去
12、参加某项活动，则每4人中必有1人抽中，可以全部抽到别的学生，这几个人不一定抽到故错误对于选项D：回归直线的斜率，说明直线的斜率大于0，则变量x与y正相关故正确故选：AD直接利用频率分布直方图和回归直线的应用，互斥事件和对立事件的应用，随机事件的应用求出结果本题考查的知识要点：频率分布直方图和回归直线的应用，互斥事件和对立事件的应用，随机事件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题10.【答案】AD【解析】解：由椭圆可知，所以左、右焦点为，根据椭圆的定义，故A正确；离心率，故B错误；所以面积的最大值为，故C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确；
13、故选：AD根据椭圆方程求得a，b和c，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的定义，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题11.【答案】ABC【解析】解：函数的最小正周期为，故A选项正确；由，解得，所以函数在区间上单调递增，故B选项正确；由于，所以直线是曲线F的一条对称轴，故C选项正确；向右平移个单位长度得到，故D选项错误故选：ABC已知了三角函数，根据正弦函数的性质利用整体代换思想求出对应选项的结果，即可判断是否正确本题考查了三角函数的周期性，单调性以及对称性，涉及到整体代换思想，考查了学生的运算转化能力，属于基础题12.【答案】ACD【解析
14、】解：由，可得，故选项A正确；B.由，故选项B错误；C.由，则，则，可得，故选项C正确；D.由，可得，故选项D正确故选：ACDA.由，利用指数函数的单调性即可判断出正误；B.由，作差，判定符号，即可判断出大小关系；C.由，利用，即可得出大小关系；D.由，作差判定符号，即可判断出大小关系本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13.【答案】1【解析】解：、是方向相反的单位向量，向量满足，故答案为：1利用向量垂直的性质直接求解本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，是基础题14.【答案】【解析】解：如图，正方体的棱长为2，M
15、、N分别为、AB的中点，故答案为：由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题15.【答案】【解析】解：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有10种，分别为：b，b，b，c，c，A，c，c，A，A，其中恰有2只做过测试的包含的基本事件有6个，分别为：b，b，c，c，c，c，其中恰有2只做过测试的概率为故答案为：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，利用列举法求出从这5只中任取3只的所有取法有10种，其中恰有2只做过测试的包含的基本事件有6个，由此能求出其中恰有2只做过测试的概
16、率本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】【解析】【分析】由题意和对数函数的性质得、，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题【解答】解：，在区间上的最大值为2，在区间上的最大值为2，则，解得，故答案为：17.【答案】解：由及正弦定理可得：，由余弦定理可得，又因为，所以选择条件：因为，所以又因为，所以是等边三角形，所以，所以选择条件：由正弦定理，及，得选择条件：由，得，所以【解析】由正弦定理化简已知可得，由余弦定理可得cosB，结合范围，可求
17、，选择条件：利用三角形的面积公式可求a的值，结合，可得是等边三角形，即可求得sinC；选择条件：由正弦定理及，可求sinC的值；选择条件：由及三角形内角和定理可求C，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.【答案】解：由题意，解不等式，得，故从第3年开始该设备开始盈利；，当且仅当时，即时，等号成立到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元，当时，故到2028年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元因为两种方案企业获利总额相同，而方
18、案所用时间较短，故方案比较合理【解析】直接由题意可得y关于x的函数关系式，再求不等式可得x的范围得结论；分别求出两种方案获利额的最大值，再由花费年限的长短得结论本题考查函数模型的选择及应用，考查一元二次不等式的解法，训练了利用基本不等式与配方法求最值，是中档题19.【答案】解：取AE的中点O，连结，依题意得，平面平面AECD，平面平面，平面，平面AECD，在中，得；证明：依题意得，在矩形ABCD中，在线段上取一点M，满足，又，故F，又，则四边形FMEC为平行四边形，得，又平面，平面，平面【解析】取AE的中点O，连结，得，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面AECD，求解三角形求得，再由棱锥
19、体积公式求三棱锥的体积；由已知证明，进一步得到，再证明，得四边形FMEC为平行四边形，则，然后利用直线与平面平行的判定可得平面本题考查多面体体积的求法，考查线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】解：样区野生动物平均数为，地块数为300，所以该地区这种野生动物的估计值为样本2，的相关系数为因为方案一的相关系数为，且明显小于方案二的相关系数为，所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计【解析】利用样区内这种野生动物数量的平均数乘以地块数，即可得出估计值求出方案二的相关系数，与方案一的相关系数比较大小即可本题考查了简单的随机抽样应用和相关系数的计算问题，也考
20、查了计算能力，是基础题21.【答案】证明：由，得，两式相减得，所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列解：由，又由可知，得，从而，即，因为，则，两式相减得，所以由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是【解析】由，得，两式相减得，变形为，进而证明结论由，又由可知，得，利用错位相减法及其等比数列的求和公式可得，根据，及其数列的单调性，即可得出实数m的最大值本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22.【答案】解：设椭圆方程，点M在直线上，且点
21、M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点，则点，即，所以，又，解得，椭圆C的方程为设动圆P的半径为R，点P的坐标为，由已知，得，当且仅当圆P的圆心为时，所以当圆P的半径最长时，其方程为，因为直线l是圆P和圆的外公切线，所以直线l的倾斜角不为且不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得，设l：，由l与圆相切得，解得，当时，将代入并整理得，解得，所以，当时，由图形的对称性可知，又点到直线l的距离，所以三角形的面积为【解析】求出M点坐标，根据可求出c，M点坐标代入椭圆标准方程可求得答案；由题意可得到，当圆P的半径最长时，确定圆的方程，l与x轴的交点为Q，由直线与圆相切得到直线的斜率，再根据弦长公式和三角形的面积公式可得答案本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式和三角形的面积公式