1、4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算学 习 目 标核 心 素 养1理解n次方根及根式的概念(一般)2正确运用根式的运算性质进行根式运算(重点)3掌握根式与分数指数幂的互化(重点、易错点)4掌握有理数指数幂的运算性质(重点、难点)1通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养2通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.关于根号的故事，最有价值和意义的当属的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数
2、学信仰对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴史称“第一次数学危机”希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海问题：若x23，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？提示这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作.1有关幂的概念一般地，an中的a称为底数，n称为指数2根式的相关概念和性质(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xna
3、，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数(2)根式的性质()na.思考1：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？提示a为正数：a为负数：零的n次方根为零，记为0.3分数指数幂(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a；当没有意义时，称a没有意义(2)意义分数指数幂正分数指数幂a (a0)，a()m(a0，m，nN*，且为既约分数)负分数指数幂as(as有意义且a0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则前提：s，t为任意有理数法则：asatast；(as)t
4、ast；(ab)sasbs.思考2：如何理解分数指数幂？提示(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a0时，a可能会有意义当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘4实数指数幂无理指数幂at(a0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用因此当a0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立1思考辨析
5、(正确的画“”，错误的画“”)(1)当nN*时，()n都有意义()(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数()(3)3.()(4)0的任何指数幂都等于0.()(1)(2)(3)(4)(1)当n是偶数时，()n没有意义(2)负数没有偶次方根(3)|3|3.(3)正确(4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义故(4)错误2下列等式成立的是()A.B.abC.a D.DA中，当a0，b0时等式不成立；B中，当ab0时等式不成立；C中，当a0时等式不成立3若a0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示分别为()C当a0时，a用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3b.4若8x10，则_.2x18因为
6、8x10，则x8(10x)2x18.根式的概念与性质【例1】(1)若x，则等于()A3x1B13xC(13x)2D非以上答案(2)若81的平方根为a，8的立方根为b，则ab_.(3)若有意义，则实数a的取值范围是_思路探究(1)先将根式内配成完全平方的形式，再利用根式的性质化简(2)先由平方根的定义求出a的值，再由立方根的定义求出b的值，再求和(3)根据被开方数大于或等于0，及分母不为0求解(1)B(2)11或7(3)(3，)(1)因为x，所以13x0.所以|13x|13x.(2)因为(9)281，所以81的平方根为9，即a9，又(2)38，所以8的立方根为2，所以b2，所以ab9211或ab
7、927.(3)要使有意义，则0，且a30，即a3.1根式概念问题应关注的两点(1)n为奇数时，对任意实数a都存在n次方根(2)n是偶数时，只有a0时才有n次方根，表示为.2根式化简应遵循的三个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式(2)被开方数是带分数的要化成假分数(3)被开方数中不能含有分母；使用(a0，b0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式1(1)的值是()A3B3C3D81(2)若x62 021，则x_.(3)已知()3，则实数a的取值范围是_(1)A(2)(3)(，1(1)|3|3.(2)因为x62 021，所以x.(3)因为|a1|，()3a1，所以|
8、a1|(a1)，所以a10，即a1.根式与分数指数幂的互化【例2】(1)根式(式中a0)的分数指数幂的形式为()(2)下列各式正确的是()思路探究(1)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解(2)利用指数幂的运算性质求解(1)A(2)D(1)a.(2)A.(mn)，因此不正确；B.2b2a2，因此不正确；C.3，因此不正确；D.(22) 2，因此正确根式与分数指数幂互化的规律及技巧(1)规律：根指数分数指数幂的分母被开方数(式)的指数分数指数幂的分子(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简2(1)化为分
9、数指数幂为_(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：(x0)；(a0，b0)(1)a(aa)(a)a.(2)解 指数幂的运算角度一利用分数指数幂的运算性质化简与求值【例3】计算下列各式：(1)(4a2b)(2ab)(b)；(2)(1)0(1)2 02121.思路探究化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值解(1)(2)(1)0(1)2 0212111.1化简结果的一个要求和两个不能2幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂(2)化根式为分数指数幂(3)化小数为分数进行运算3(1)化简：_.(2)求值：1.5080.25()6.(2)解1.5080.25()61(23)22
10、2332427110.角度二指数式的条件求值问题探究问题1把2，2分别展开是什么？提示2a2，2a22.2.2和2有什么关系？提示224.【例4】已知aa15，求下列各式的值：(1)a2a2；(2)aa.解(1)因为aa15，所以a2a2(aa1)2252223.(2)因为2aa12523，所以aa.本例条件不变，如何求a3a3的值？解因为aa15，所以a3a3(aa1)(a2aa1a2)(aa1)(aa1)23aa15(253)110.条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求
11、值(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果一、知识总结1一个数有没有n次方根，一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分n为奇数或偶数这两种情况2根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解3指数幂的几个常见结论(1)当a0时，ab0；(2)当a0时，a01；而当a0时，a0无意义；(3)若aras(a0且a1)，则rs；(4)乘法公式仍适用于分数指数幂，如：(ab)(ab)(a)2(b)2ab(a0，b0)4在条件求值(或化简)中，注意整体代入法的应用求解指数方程，常化为同底数的幂、或者换元求解二、方法归纳整体代换法三、常见误区对于，当n为偶数时，a0.在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数1若，则()Aa0Ba0Ca0Da0A因为与互为相反数，所以a0.2有下列各式：若aR，则(a2a1)01；xy；.其中正确的个数是()A0 B1C2D3Ba2a120，所以(a2a1)01成立无法化简0，0，故不相等3化简的结果等于_a由条件知a0，427162_.3原式4143.5化简下列各式(式中字母均为正数)：(1)；(2).(结果化为分数指数幂)解 a.
