1、宁夏中卫市2021届高三数学三模试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1集合Ax|x0，B2，1，0，2，则（RA）B（）A0，2B2，1C2，1，0D22命题“若a2+b20，则a0且b0”的否定是（）A若a2+b20，则a0且b0B若a2+b20，则a0且b0C若a2+b20，则a0或b0D若a2+b20，则a0或b03若向量（5，6），（2，3），则（）A（3，3）B（7，9）C（3，3）D（6，10）4已知角终边经过点P（，a），若，则a（）ABCD52021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高三高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、
2、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A甲的物理成绩领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果6已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形7已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（1，1），B（1，1），C（1，0），D（1，0），其中A，B两
3、点在曲线yx2上，如图所示若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（）ABCD8若函数f（x）sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点对称C函数f（x）在区间上是减函数D函数f（x）的图象关于直线对称9已知圆M过点A（1，1）、B（1，2）、C（3，2），则圆M在点B处的切线方程为（）A2x+y0B3x+2y+10C2x+3y+40Dx+2y+3010若正四面体ABCD的所有棱长均为，则正四面体ABCD的（）A表面积为B高为C体积为D内切球半径为11设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a
4、2，B2A，则b的取值范围为（）ABCD（0，4）12已知函数f（x）xex，g（x）2xln2x，若f（x1）g（x2）t，t0，则的最大值为（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知i为虚数单位，复数z（2+i3）（1ai）为实数，则z 14已知方程lgx3x的根在区间（2，3）上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为 15已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，且对任意xR，都有f（2x）f（x）成立，当x1，1时，f（x），则a 当x1，3时，f（x） 16已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点（F1，F2为
5、椭圆C的两个焦点）又O为坐标原点，当ABO的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 b1；当点P在第一象限时坐标为；直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值；F1PF2的角平分线PH（点H在F1F2上）长为三、解答题：（本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的前n项和为Sn（nN*），2S2，S3，4S4成等差数列，且a2+2a3+a4（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（n+2）log2|an|，求数列的前n项和Tn18某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游
6、玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：目的地A地出行方式绿色出行非绿色出行概率得分10目的地B地出行方式绿色出行非绿色出行概率得分10若甲同学去A地玩，乙、内同学去B地玩，选择出行方式相互独立（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；（2）求三名同学总得分X的分布列及数学期望EX19在如图所示的几何体中，EA平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，ADBC，AD1，ABC60，EFAC，EFAC（1）证明：ABCF；（2）当二面角BEFD的余弦值为时，求线段CF的长20已知抛物线：y22px的焦点为F（2，0），点P在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）若|PF|5，求点
7、P的坐标；（3）过点T（t，0）（t0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求TMN的面积的最小值21已知函数f（x）lnx，其中aR（1）当a2，x1时，证明：f（x）0；（2）若函数F（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数F（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：2选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）选修44：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系
8、，曲线C2的极坐标方程为cos+20（1）求曲线C1的极坐标方程并判断C1，C2的位置关系；（2）设直线（，R）分别与曲线C1交于A，B两点，与C2交于点P，若|AB|3|OA|，求|OP|的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|12x|3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+Mab（）求M；（）是否存在a，b，使得a6+b6？并说明理由参考答案一、选择题（每小题5分）.1集合Ax|x0，B2，1，0，2，则（RA）B（）A0，2B2，1C2，1，0D2解：集合Ax|x0，B2，1，0，2，所以RAx|x0，所以（RA）B2，1，0故选：C2命题“若a2+b20，则a0且b0
9、”的否定是（）A若a2+b20，则a0且b0B若a2+b20，则a0且b0C若a2+b20，则a0或b0D若a2+b20，则a0或b0解：命题“若a2+b20，则a0且b0”的否定是“若a2+b20，则a0或b0”，故选：D3若向量（5，6），（2，3），则（）A（3，3）B（7，9）C（3，3）D（6，10）解：向量（5，6），（2，3），则（3，3），故选：C4已知角终边经过点P（，a），若，则a（）ABCD解：角终边经过点P（，a），若，tan（），解得a故选：C52021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高三高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从
10、化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A甲的物理成绩领先年级平均分最多B甲有2个科目的成绩低于年级平均分C甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果解：根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中物理、化学、地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分，1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多，故A项叙述正确，C项叙述不正确；B项：根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平
11、均分，故B项叙述正确；对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的种选科结果，故D项叙述正确；故选：C6已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形解：由已知中ABC的直观图中BOCO1，AO，ABC中，BOCO1，AO，由勾股定理得：ABAC2，又由BC2，故ABC为等边三角形，故选：A7已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（1，1），B（1，1），C（1，0），D（1，0），其中A，B两点在曲线yx2上，如图所示若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（）ABCD解：
12、由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，结合几何概型计算公式可得：骰子落在阴影部分的概率为 故选：C8若函数f（x）sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点对称C函数f（x）在区间上是减函数D函数f（x）的图象关于直线对称解：函数f（x）sin2x+cos2xsin（2x+），故它的最小正周期为，故A不正确；令x，求得f（x）0，故函数f（x）的图象关于点对称，故B正确；当x（，），2x+（ ，），故f（x）没有单调性，故C错误；令x，求得f（x）1，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线对称，故D错误，故选：B9已知圆
13、M过点A（1，1）、B（1，2）、C（3，2），则圆M在点B处的切线方程为（）A2x+y0B3x+2y+10C2x+3y+40Dx+2y+30解：根据题意，设圆心M的坐标为（m，n），圆M过点A（1，1）、B（1，2）、C（3，2），则点M在线段AB的垂直平分线上，则n，同理：点M在线段BC的垂直平分线上，则m2，即圆心的坐标为（2，），则KMB，则切线的斜率k，又由B（1，2），则圆M在点B处的切线方程为y+2（x1），变形可得2x+3y+40，故选：C10若正四面体ABCD的所有棱长均为，则正四面体ABCD的（）A表面积为B高为C体积为D内切球半径为解：根据题意，正四面体ABCD的所有棱长
14、均为，依次分析选项：对于A，SABCSABDSACDSBCD2，则其表面积S42，A错误；对于B，设ABC的中心为O，易得DO面ABC，则AO，则|DO|，正四面体ABCD的高为，B错误；对于C，正四面体ABCD的VSABC|DO|，C错误；对于D，设正四面体ABCD的内切球半径为r，则有VSABC|DO|（S表）r，解可得r，D正确；故选：D11设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a2，B2A，则b的取值范围为（）ABCD（0，4）解：在锐角三角形中，02A，即0A，且B+A3A，则3A，即A，综上A，则cosA，a2，B2A，由正弦定理得，得b4cosA，cosA，
15、24cosA2，即2b2，则b的取值范围是（2，2），故选：A12已知函数f（x）xex，g（x）2xln2x，若f（x1）g（x2）t，t0，则的最大值为（）ABCD解：因为f（x）xex，g（x）2xln2x，f（x1）g（x2）t，t0，所以t，所以ln（）ln（2x2ln2x2）lnt，即lnx1+x1ln（2x2）+ln（ln2x2）lnt，因为yx+lnx在（0，+）上单调递增，所以x1ln（2x2），即lnx1+x1lnx1+ln2x2lnt，所以2x1x2t，则，令h（t），则h（t），当0te时，h（t）0，h（t）单调递增，当te时，h（t）0，h（t）单调递减，故当te时
16、，h（t）取得最大值h（e）故选：D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知i为虚数单位，复数z（2+i3）（1ai）为实数，则z解：z（2+i3）（1ai）（2i）（1ai）（2a）（2a+1）i为实数，2a+10，即a，则z2（）2+故答案为：14已知方程lgx3x的根在区间（2，3）上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为（2.5，3）解：根据题意，设f（x）lgx+x3，函数的零点即方程的根，f（2）lg210，f（3）lg30，而f（2.5）lg（lg1）0，则有f（2.5）f（3）0，故方程的根在区间（2.5，3）上，故答案为：（2.5，3）15已知函数
17、f（x）是定义域为R上的奇函数，且对任意xR，都有f（2x）f（x）成立，当x1，1时，f（x），则a1当x1，3时，f（x）解：根据题意，函数f（x）是定义域为R上的奇函数，则f（0）0，又由当x1，1时，f（x），则f（0）0，解可得a1，当x1，3时，x2（1，1），则f（x2），又由f（x）为奇函数，则f（2x），又由f（x）满足对任意xR，都有f（2x）f（x）成立，则f（x），故答案为：1，16已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点（F1，F2为椭圆C的两个焦点）又O为坐标原点，当ABO的面积最小时，下列说法所有正确的序号是b1；当点P在第一
18、象限时坐标为；直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值；F1PF2的角平分线PH（点H在F1F2上）长为解：双曲线的焦点为（，0），则椭圆的焦点也为（，0），b2321，得b1（b0），故正确；设P（x0，y0）（x0，y00），则，椭圆在点P处的切线方程为，求得A（，0），B（0，），由三角形面积公式可得，则，当且仅当时等号成立，此时在第一象限的切点坐标为P（，），故错误；由对称性，只需考虑点P在第一象限的情况，由上可知，P（，），则kOPkl，故错误；计算可得，在F1PF290，设F1PF2的角平分线PH的长为m，根据等面积法可得：，解得m，故正确故答案为：三、解答题：（本大题共5小题，满分
19、60分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知等比数列an的前n项和为Sn（nN*），2S2，S3，4S4成等差数列，且a2+2a3+a4（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（n+2）log2|an|，求数列的前n项和Tn解：（1）等比数列an的公比为q，q1，前n项和为成等差数列，可得2S34S42S2，即为242，化为2q2q10，解得q，即为a1+2a1a1，解得a1，则an（）n，nN*；（2）bn（n+2）log2|an|（n+2）log2n（n+2），可得（），即有前n项和Tn（1+）（1+）（+）18某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培
20、养学生的环保意识“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：目的地A地出行方式绿色出行非绿色出行概率得分10目的地B地出行方式绿色出行非绿色出行概率得分10若甲同学去A地玩，乙、内同学去B地玩，选择出行方式相互独立（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；（2）求三名同学总得分X的分布列及数学期望EX解：（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，根据事件的独立性和互斥性得：；+，P（X2），故X的分布列为：X0123P所以19在如图所示的几何体中，EA平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC
21、，ADBC，AD1，ABC60，EFAC，EFAC（1）证明：ABCF；（2）当二面角BEFD的余弦值为时，求线段CF的长【解答】证明：（1）由题意，EA平面ABCD，又AB平面ABCD，ABAE，过点A作AHBC于点H，在RtABH中，ABH60，BH，AB1，在ABC中，AC2AB2+BC22ABBCcos60，AB2+AC2BC2，则ABAC，又ACAEA，AB平面ACE，而CF平面ACE，ABCF；解：（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AEa（a0），则B（1，0，0），E（0，0，a），F（0，a），D（，0），设平面BEF的一个
22、法向量为，由，取xa，得；设平面DEF的一个法向量为，由，取z11，得|cos|，整理得4a45a2+10，解得a1或a二面角BEFD为锐二面角，经检验a舍去，a1作FMAC于M，则M为AC的中点，CF20已知抛物线：y22px的焦点为F（2，0），点P在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）若|PF|5，求点P的坐标；（3）过点T（t，0）（t0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求TMN的面积的最小值解：（1）抛物线：y22px的焦点为F（2，0），可得2，即p4，所以抛物线的方程为y28x；（2）由抛物线y28x的焦点F（2，0），
23、准线方程为x2，可得|PF|xP+25，所以xP3，yP2，即有P（3，2），或（3，2）；（3）由题意可得直线AB，CD的斜率存在，且不为0，可设AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，直线AB的方程为yk（xt），直线CD的方程为y（xt），设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得k2x22（k2t+4）x+k2t20，可得x1+x22t+，所以y1+y2k（x1+x2）2kt2kt+2kt，则M（t+，），将M中的k换为，可得N（t+4k2，4k），所以|TM|，|TN|4|k|，于是STMN|TM|TN|8（|k|+）8216，当且仅当k1时，上式取得等号所以TMN的面积的最小值为16
24、21已知函数f（x）lnx，其中aR（1）当a2，x1时，证明：f（x）0；（2）若函数F（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数F（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：2解：（1）证明：当a2时，f（x）lnx，f（x），当x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）单调递增，f（1）0，f（x）f（1）0；（2）f（x）lnx，则f（x），令g（x）x2+2（1a）x+1，当a0时，又x0，则g（x）0，f（x）0，当0a2时，4a28a0，得g（x）0，f（x）0，故当a2时，f（x）在（0，+）上单调递增，且f（1）0，故有f（x）0，可得F（x）0，当a2时，有4a28a0，此
25、时g（x）有2个零点，设为t1，t2，且t1t2，又t1+t22（a1）0，t1t21，故0t11t2，在（1，t2）上，f（x）为单调递减函数，故此时有f（x）0，即lnx，得0，此时F（x）0不恒成立，综上：a的取值范围是（，2；（3）证明：若F（x）有2个不同的零点x1，x2，不妨设x1x2，则x1，x2为f（x）的两个零点，且x11，x21，由（2）知此时a2，并且f（x）在（0，t1），（t2，+）上单调递增，在（t1，t2）上单调递减，且f（1）0，f（t1）0，f（t2）0，f（ea）0，f（ea）0，ea1ea，且f（x）的图像连续不断，x1（ea，t1），x2（t2，ea），
26、t2t1x2x1eaea，t2t12，综上：2|x2x1|eaea选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）选修44：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos+20（1）求曲线C1的极坐标方程并判断C1，C2的位置关系；（2）设直线（，R）分别与曲线C1交于A，B两点，与C2交于点P，若|AB|3|OA|，求|OP|的值解：（1）由曲线C1得：，平方相加得（x3）2+y25，即x2+y26x+4
27、0，又2x2+y2，xcos，得曲线C1的极坐标方程为26cos+40联立，得2+160，此方程无解，C1，C2相离；（2）由，得26cos+40直线与曲线C1有两个交点A，B，36cos2160，即设方程的两根分别为1，2，则，|AB|3|OA|，|OB|4|OA|，即241，联立式解得11，24，满足0，联立，选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|12x|3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+Mab（）求M；（）是否存在a，b，使得a6+b6？并说明理由解：（1）分三类讨论如下：当x1时，f（x）x+4，单调递增，f（x）3；当1x时，f（x）5x2，单调递减，f（x）maxf（1）3，当x时，f（x）x4，单调递减，f（x）f（），综合以上讨论得，f（x）的最大值M3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b622a3b3，所以，又因为+Mab3ab2，所以，显然相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6