1、 5.3 概 率 5.3.4 频率与概率 第五章 统计与概率 学习目标 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.重点：利用频率估计概率.难点：正确理解概率的意义以及频率与概率的区别 知识梳理 1.用频率估计概率一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为mn.不难看出，此时也有 0P（A）1，而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立.假定 A，B 是互斥事件
2、，在 n 次试验中，事件 A 出现的频数是 n1，事件 B 出现的频数是 n2，则事件 AB 出现的频数正好是 n1+n2，所以事件 AB 的频率为12nnn1nn+2nn，根据概率的统计定义有：P（A）1nn，P（B）2nn，P（AB）12nnn，所以 P（AB）P（A）+P（B）.特别地，若A，B是对立事件，则n1+n2n，1nn+2nn 12nnn1，故P（A）+P（B）1.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率。2.用频率估计互斥事件与对立事件的概率 3.如何理解概率意义上的“可能性”？（1）概率意义上的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，
3、也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与多次试验累积结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”.（2）概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并未说明一个事件一定发生或一定不发生.题型一 频率与概率的关系【例1】题下列关于概率和频率的叙述中正确的有 .（把符合条件的所有答案的序号填在横线上）随机事件的频率就是概率；随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个固定的数值；频率是客观存在的，与试验次数无关；概率是随机的，在试验前不能确定；概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个
4、事件的概率.常考题型【解析】随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故错误；随机事件的频率不是一个固定的数值，而概率是一个确定的数值，故正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故错误；由频率与概率的关系可知正确.【答案】【归纳总结】频率与概率的关系 概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似值，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.训练题1.下列说法：频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；百分率能表示频率，但不能表示概率；频率是不能脱离试验次数n的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；频率是概
5、率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的是 .题型二 用频率估计概率 例2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物 10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 mn （1）计算并完成表格.（2）请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？【解】（1）转动转盘
6、的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 mn 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.（3）获得铅笔的概率约是0.7.【归纳总结】在随机事件的大量重复试验中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律.通俗地说，这个定理就是，在试验条件不变的情况下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率.偶然中包含着某种必然.训练题2.2019西藏林芝一中高三模拟某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一
7、名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.一次性购物数量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人）x 30 25 y 10 结算时间（分/人）1 1.5 2 2.5 3（1）求x，y的值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.【解】（1）由已知得25+y+1055，x+3045，所以x15，y20.（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）P
8、（A1）+P（A2）20100+101000.3.题型三 频率与概率的综合问题 例 32019云南玉溪一中高二检测对某校高一学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图（如图）.（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试 估计该校高一学生参加社区服务的 次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率.分组 频数 频率 10，15）10 0
9、.25 15，20）25 n 20，25）m p 25，30 2 0.05 合计 M 1【解】（1）由分组10，15）内的频数是10，频率是0.25，知 10M 0.25，所以M40.因为频数之和为40，所以10+25+m+240，m3，p 3M 340 0.075.因为a是对应分组15，20）的频率与组距的商，所以a254050.125.（2）因为该校高一学生有360人，分组15，20）内的频率是 2540 0.625，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在15，20）内的人数为3600.625225.（3）所取样本中，参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+25（人），设在区间20，
10、25）内的人为a1，a2，a3，在区间25，30内的人为b1，b2.则任选2人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a 2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），共10种情况，而两人都在20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），共3种情况，至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率为p1-310 710.训练题32017北京卷某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20
11、，30），30，40），80，90，并整理得到如图5-3-7所示的频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【归纳总结】根据频率与概率的关系，概率的有关计算就可以转化为 频率的计算，有关事件的频率值就可以看作是概率值。解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02+0.04）100.6，所以样本中分数小于70的频率为1-0.6
12、0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01+0.02+0.04+0.02）100.9，分数在区间40，50）内的人数为100-1000.9-55，所以总体中分数在区间40，50）内的人数估计为400 20.（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为（0.02+0.04）1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为60 30，所以样本中的男生人数为30260，女生人数为100-6040，所以样本中男生和女生人数的比例为604032，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3
13、2.题型四 概率的应用【例4】2019上海崇明区模拟为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为 .【解题提示】求2 000尾鱼占水库中所有鱼的百分比-求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比-根据二者的关系列等式-求解，估计水库中鱼的尾数【解析】设水库中鱼的尾数是n（nN+），现在要估计n的值，假设每尾鱼被捕到的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，记事
14、件A捕到带记号的鱼，则P（A）2 000n.第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P（A）40500，所以2 000n40500，解得n25 000.所以估计水库中的鱼有 25 000 尾.【答案】25 000 【归纳总结】（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率.（2）解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.解：（1）这种鱼卵的孵化概率为 7 64510 000 0.764 5.
15、（2）由（1）知，30000个鱼卵大约能孵化出300000.764 522935（尾）鱼苗.（3）要孵化出5000尾鱼苗，需准备 5 0000.764 5 6500（个）鱼卵.训练题4.2019江西九江校级月考某水产试验厂施行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出7645尾鱼苗.根据概率的统计定义解答下列问题：（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）.（2）30000个鱼卵大约能孵化出多少尾鱼苗？（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概需准备多少个鱼卵？（精确到百位）小结 1.频率是通过随机试验测量出来的结果，它的值是不稳定的；概率是通过很多次随机试验总结归纳出来的，是可以代替概率的稳定值。2.在统计的应用中，通常用频率值来估计概率的值，因此常常用频率值作为概率值使用。3.在古典概型中概率是用互斥事件的概率公式理论计算的结果，统计中的很多问题一般都不是古典概型，因此其概率值都是用频率值代替使用。