1、2014-2015学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2014秋郑州期末）已知命题p：x0，x20，那么p是（） A x0，x20 B x0，x20 C x0，x20 D x0，x20【考点】： 命题的否定【专题】： 简易逻辑【分析】： 将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案【解析】： 解：已知命题p：x0，x20，那么p是：x0，x20，故选：C【点评】： 本题考查了命题的否定，将命题的否定和否命题区分开，本题属于基础题2（5分）（2014秋郑州期末）等差
2、数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，则公差d等于（） A 1 B 1 C 2 D 2【考点】： 等差数列的前n项和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由题意结合等差数列的性质和求和公式可得a2的值，进而可得公差d【解析】： 解：等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，S3=a1+a2+a3=3a2=6，a2=2，公差d=a3a2=02=2故选：D【点评】： 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题3（5分）（2014江西校级模拟）设a，bR，则ab是（ab）b20的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点
3、】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 规律型【分析】： 结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解析】： 解：当ab，b=0时，不等式（ab）b20不成立若（ab）b20，则b0，且ab0，ab成立即ab是（ab）b20的必要不充分条件故选：B【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础4（5分）（2014秋郑州期末）已知抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），则m的值为（） A B 2 C 4 D 8【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0
4、），结合条件可得=2，即可求得m的值【解析】： 解：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），又抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），即有=2，解得m=8故选：D【点评】： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题5（5分）（2014秋郑州期末）已知=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，则x+y的值是（） A 3或1 B 3或1 C 3 D 1【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；空间向量及应用【分析】： 运用向量的模的公式，可得x，再由向量垂直的条件：数量积为0，可得y，进而得到x+y的值【解析】： 解：由=（2，4，x），|=6，则=6，解得x=
5、4，又=（2，y，2），且，则=0，即有4+4y+2x=0，即y=当x=4时，y=3，有x+y=1；当x=4时，y=1，有x+y=3故选A【点评】： 本题考查空间向量的数量积的性质，考查向量的模的公式，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题6（5分）（2014秋郑州期末）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（） A ，a，b B ，a C a，b， D ，b【考点】： 解三角形的实际应用【专题】： 应用题；解三角形【分析】： 给定，a，b，由正弦定理，不唯一确定，故不能确定A，B间距离【解析】： 解：给定，a，b，由正弦定理，不唯一确定
6、，故不能确定A，B间距离故选：A【点评】： 本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）（2009天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（） A 6 B 7 C 8 D 23【考点】： 简单线性规划的应用【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【解析】： 解：画出不等式表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以zmin=4+3=7，故选B【点评】： 用图解法
7、解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解8（5分）（2014秋郑州期末）若ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则ABC（） A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】： 三角形的形状判断【专题】： 计算题；解三角形【分析】： 根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最
8、大角C的余弦等于，从而得到ABC是钝角三角形，得到本题答案【解析】： 解：角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC=C是三角形内角，得C（0，），由cosC=0，得C为钝角因此，ABC是钝角三角形故选：C【点评】： 本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题9（5分）（2014秋郑州期末）已知点（2，1）和（1，3）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（） A 4a9 B 9a4 C a4或a9 D
9、a9或a4【考点】： 直线的斜率【专题】： 直线与圆【分析】： 由点（2，1）和（1，3）在直线3x2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x2y+a所得的值异号，由此列不等式求得a的范围【解析】： 解：点（2，1）和（1，3）在直线3x2y+a=0的两侧，（3221+a）（1323+a）0，即（a+4）（a9）0解得4a9故选：A【点评】： 本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题10（5分）（2014郑州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线=1，则的值为（） A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专
10、题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据双曲线的定义，以及正弦定理，即可得到结论【解析】： 解：在双曲线=1，a=4，b=3，c=5，即A，C是双曲线的两个焦点，顶点B在双曲线=1，|BABC|=2a=8，AC=10，则由正弦定理得=，故选：C【点评】： 本题主要考查双曲线的定义的应用，利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键11（5分）（2015路南区校级模拟）已知各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（） A 16 B 8 C D 4【考点】： 等比数列的通项公式【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 由各项为正的等比数列an中，a
11、4与a14的等比中项为，知a4a14=（2）2=8，故a7a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值【解析】： 解：各项为正的等比数列an中，a4与a14的等比中项为，a4a14=（2）2=8，a7a11=8，a70，a110，2a7+a112=2=8故选B【点评】： 本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题解题时要认真审题，仔细解答12（5分）（2011辽宁校级模拟）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（） A x2y+1=0 B 2xy1=0 C 2x+y3=0 D
12、x+2y3=0【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 计算题【分析】： 由题设知（）（s+t）=n+m+=，满足时取最小值，由此得到m=n=1设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，得2（x1x2）+4（y1y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直线方程【解析】： 解：sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，s+t最小值是，（）（s+t）的最小值为4（）（s+t）=n+m+=，满足时取最小值，此时最小值为=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，
13、所以，m=n=1设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，得2（x1x2）+4（y1y2）=0，k=，此弦所在的直线方程为，即x+2y3=0故选D【点评】： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2014东营二模）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x210x+9=0的两个根，则S6=364【考点】： 等比数列的性质【专
14、题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 通过解方程求出等比数列an的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和【解析】： 解：解方程x210x+9=0，得x1=1，x2=9数列an是递增数列，且a1，a3是方程x210x+9=0的两个根，a1=1，a3=9设等比数列an的公比为q，则q2=9，所以q=3S6=364故答案为：364【点评】： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，属于基础题14（5分）（2014秋郑州期末）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由已知式子变形可得
15、xy=x+y+3，由基本不等式可得xy2+3，解关于的一元二次不等式可得【解析】： 解：x，y均为正数，且+=，=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy2+3，整理可得（）2230，解得3，或1（舍去）xy9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：9【点评】： 本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题15（5分）（2014菏泽一模）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=4【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 计算题；解三角形【分析】： 利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC，结
16、合a2c2=2b，即可求b的值【解析】： 解：sinAcosC=3cosAsinC，2c2=2a2b2a2c2=2b，b2=4bb0b=4故答案为：4【点评】： 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题16（5分）（2014东城区二模）若直线y=k（x+1）（k0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 直线y=k（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），由此推导出|OA|=|BF|，由此能求出点A的坐标，从而
17、能求出k的值【解析】： 解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=1直线y=k（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，点A为BP的中点连接OA，则|OA|=|BF|，|OA|=|AF|，点A的横坐标为，点A的坐标为（，），把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k0），解得k=故答案为：【点评】： 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2014秋郑州期末）命题
18、p：关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xR恒成立命题q：抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【考点】： 复合命题的真假【专题】： 简易逻辑【分析】： 分别求出关于p，q的a的范围，通过讨论p真q假，p假q真，从而得到a的范围【解析】： 解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xR恒成立，=4a2160，2a2，又抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，a1，a0，又pq为真命题，pq为假命题，p和q一真一假，若p真q假，则1a2，或a=0，若p假q真，则a2，综上，a的范围是：1a2或a2或
19、a=0【点评】： 本题考查了复合命题的真假，考查了不等式以及抛物线的性质，是一道基础题18（12分）（2014秋郑州期末）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB（1）求角C的大小；（2）若c2=（ab）2+6，求ABC的面积【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求出C的度数即可；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosC的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可【解析】： 解：（1）由正弦
20、定理=，及b=2csinB，得：sinB=2sinCsinB，sinB0，sinC=，C为锐角，C=60；（2）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（ab）2+ab，c2=（ab）2+6，ab=6，则SABC=absinC=【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键19（12分）（2014秋郑州期末）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选
21、的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小【考点】： 不等式的实际应用【专题】： 应用题；不等式的解法及应用【分析】： 设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=40000m2，由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，农田面积（a+6）（b+6）=40036+6（a+b）（m2），由此利用均值不等式能求出农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小【解析】： 解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=40000m2，由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，农田面积（a+6）（b+6）=40036+6（a+b）（m2），由不等式a+b2，知当且仅当a=b时
22、，a+b最小，即农田面积最小，ab=40000 所以a=b=200m所以农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小【点评】： 本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用20（12分）（2014濮阳二模）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn【考点】： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设an的公差为d，bn的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立
23、方程求得d和q，进而可得an、bn的通项公式（）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn【解析】： 解：（）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（），Sn=，得Sn=1+2（+），则=【点评】： 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和21（12分）（2014秋郑州期末）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动（1）证明：A1D平面D1EC1；（2）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为【考点】： 直线与平面垂直的判定；二
24、面角的平面角及求法【专题】： 空间向量及应用【分析】： 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）利用数量积只要判断A1DD1E，A1DD1C1，（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），利用法向量的特点求出x【解析】： 证明（1）：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）=（1，0，1），=（
25、1，x，1），=（0，2，0），所以=0，=0，所以A1DD1E，A1DD1C1，所以A1D平面D1EC1；解：（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），=（1，x2，0），=（0，2，1），=（0，0，1）由所以令b=1，c=2，a=2x=（2x，1，2）依题意，cos=解得x1=2+（舍去），x1=2所以AE=2时，二面角D1ECD的大小为【点评】： 本题考查了利用空间直角坐标系，判断线面垂直以及求解二面角，注意法向量的求法是解题的关键，考查计算能力22（12分）（2014秋郑州期末）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（ab0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直
26、线l：y=x的距离为，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（）求椭圆E的方程；（）求证：|AF|BF|=|BM|AM|【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （）设点F（c，0）（c0），由已知条件得，圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程（）由圆心O到直线l的距离为，得，由已知条件推导出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|BF|=|BM|AM|【解析】： （）解：设点F（c，0）（c0），则F到直线l的距离为，即，（2分）因为F在圆C内，所以，故c=1；（4分）因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b2=3，椭圆方程为（6分）（）证明：因为圆心O到直线l的距离为，所以直线l与圆C相切，M是切点，故AOM为直角三角形，所以，又，得，（7分），又，得，（9分）所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，（11分）所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，即|AF|BF|=|BM|AM|（12分）【点评】： 本题考查椭圆方程的求法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用
