1、87抛物线一、选择题1已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).答案：C2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|()A10 B8 C6 D4解析：由k2x22(k22)xk20x1x26k1.|AB|2(1k2)(x1x2)264|AB|8.答案：B3将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()An0 Bn1 C
2、n2 Dn3解析：设直线y(x)，与抛物线y22px联立可得xp，故可得两交点坐标为(p，p2p)和(p，p2p)，(p，p2p)与(，0)之间的距离为2(2)p，(p，p2p)与(，0)之间的距离为2(2)p，故等边三角形有两个，选C.答案：C4已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2 C4 D4解析：由，解得，由题意得知，得，又知a4，故a2，b1，c，焦距2c2.故选B.答案：B5设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM
3、|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定义，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)答案：C6已知点P为抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则|PA|PM|的最小值是()A. B4 C. D5解析：焦点F，当P、A、F三点共线时|PA|PM|才有最小值，此时|PA|PM|PA|PF|，即|PA|PM|的最小值为|FA| 5.故选C.答案：C二、填空题7坐标原点为O，抛物线y22x与过其焦点的直线交于A
4、、B两点，则_.解析：依题意，抛物线y22x的焦点坐标为F(，0)，不妨考虑特殊情况，即直线AB与x轴垂直，此时解得A(，1)，B(，1)，所以1.答案：8设A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线y2x2上的两点，直线L是AB的垂直平分线当直线L的斜率为时，则直线L在y轴上截距的取值范围是_解析：设L在y轴上的截距为b，则直线L的方程为yxb，过点A、B的直线可设为y2xm，则A、B的坐标是方程组的解，即x1、x2是方程2x22xm0的两根，从而有x1x21，48m0m.又AB的中点N(，m1)在直线L上，即m1bmb，将mb代入得b.故直线L在y轴上截距的取值范围是.答案：9设圆C位于抛
5、物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0a3)，则由条件知圆的方程是(xa)2y2(3a)2.由消去y得x22(1a)x6a90，结合图形分析可知，当2(1a)24(6a9)0且0a3，即a4时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3a1.答案：1三、解答题10设抛物线顶点在原点，开口向上，A为抛物线上一点，F为抛物线焦点，M为准线l与y轴的交点，已知|AM|，|AF|3，求此抛物线的方程解析：作ABy轴于B，AC
6、l于C.据抛物线定义，|AC|AF|.|AF|3，|AC|3，从而|BM|AC|3.|AM|，在RtABM中，|AB|2|AM|2|BM|21798.在RtABF中，|BF|2|AF|2|AB|2981，|BF|1.从而|FM|BF|BM|4或|FM|BM|BF|2，即抛物线的焦准距p4或p2，又抛物线开口向上，故抛物线方程为x28y或x24y.11(2013浙江卷)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求|MN|的最小值解析：(1)由题意可设抛物线C的方程为x22p
7、y(p0)，得1，抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1(直线AB的斜率显然存在)，由消去y，整理得x24kx40，x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.显然x1，x2均不为0，由解得点M的横坐标xM.同理点N的横坐标xN.|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k.|MN|2 .综上所述，当t，即k时，|MN|的最小值是.12(2013广东卷)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)，(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)
8、当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解析：(1)依题意d，解得c1(负根舍去)抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24y，即yx2得yx，抛物线C在点A处的切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1x.y1x，yxy1.点P(x0，y0)在切线l1上，y0x0y1.同理，y0x0y2.综合得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0x0y.经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，直线AB的方程为y0x0y，即x0x2y2y00.(3)由抛物线的定义可知|AF|y11，|BF|y21，|AF|BF|(y11)(y21)y1y2y1y21，联立消去x得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y.x0y020，|AF|BF|y2y0x1y2y0(y02)212y2y0522，y0时，|AF|BF|取得最小值为.