1、山西省太原市第五中学2020-2021学年高二数学上学期12月阶段性检测试题 理一、 选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个正确选项)1. 已知直线与直线平行，则实数m的值为A. B. 3C. D. 2. 设向量2，若，则角A. B. C. D. 3. 直角坐标平面内，过点且与圆相切的直线A. 有两条B. 有且仅有一条C. 不存在D. 不能确定4. 圆与圆的公共弦长为A. B. C. D. 5. 过点作圆的切线，若切点为A、B，则直线AB的方程是A. B. C. D. 6. 已知点是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的斜率为A. B. C. D. 27.
2、椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 8. 若直线和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是A. B. C. D. 9. 已知两点，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是A. 或B. C. D. 10. 已知椭圆E：，设直线l：交椭圆E所得的弦长为则下列直线中，交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11. 已知O为坐标原点，B与F分别为椭圆的上顶点与右焦点，若，则该椭圆的离心率是_12. 曲线与曲线的交点个数是_13. 过圆上任意一点P作x轴的垂线PN，垂足为N，则线段PN的中点M的轨迹方
3、程为_14. 已知圆C：，定点，M为圆上的一个动点，连接MA，作MA的垂直平分线交半径MC于P，当M点在圆周上运动时，点P的轨迹方程为_三、解答题(本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分10分) 已知圆C：，直线l：当直线l与圆C相交，求a的取值范围；当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程16.(本小题满分10分)已知椭圆，一组平行直线的斜率是这组直线何时与椭圆相交？当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上17(本小题满分10分)如图，在正三棱柱中，点分别为的中点 求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面
4、所成角的正弦值18. (本小题满分10分)已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点是椭圆C上的点，离心率求椭圆C的方程；点在椭圆C上，若点N与点A关于原点对称，连接并延长与椭圆C的另一个交点为M，连接MN，求面积的最大值太原五中高二数学（理科）阶段性测试题（20201208）命题人刘洪柱审核人桑小燕题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）15. 已知直线与直线平行，则实数m的值为A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题【解答】解：直线与直线平行，解得，故选D16. 设向量2，若，则角A. B. C. D. 【答案】B【解
5、析】解：向量2，角故选：B利用向量垂直的性质直接求解本题考查角的求法，考查向量的垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17. 直角坐标平面内，过点且与圆相切的直线A. 有两条B. 有且仅有一条C. 不存在D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】本题考查圆的一般式方程及圆的切线方程，属于基础题目【解答】解：由题意可得，所以P在圆外，故过点P可作两条圆的切线故选A18. 圆与圆的公共弦长为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查两个圆的位置关系、相交弦所在的直线方程、公共弦长的求法，考查计算能力，属于基础题利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角
6、三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长【解答】解：，得：为公共弦所在直线的方程，原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：，故选B19. 过点作圆的切线，若切点为A、B，则直线AB的方程是A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：根据题意，设，圆的圆心为，半径，有，则，则以P为圆心，为半径为圆为，即，公共弦所在的直线即直线AB，则，变形可得；即直线AB的方程是；故选：B根据题意，设为点P，结合切线的性质可得的值，即可得P为圆心，为半径为圆的方程，分析可得两圆的公共弦所在的直线即直线AB，联立两个圆的方程，变形可得公共弦的方程，即可得答案本题考查圆的方程的应用，涉及圆的切线的性质，
7、注意将AB转化为圆与圆的公共弦问题20. 已知点是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的斜率为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查直线和椭圆的位置关系及中点弦问题，属基础题利用“点差法”即可得出直线l的斜率，利用点斜式即可得出方程【解答】解：设直线l与椭圆相交于两点，代入椭圆方程可得，两式相减得，解得故选C21. 椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力利用已知条件列出方程组，求出m，n的值，即可求解求解椭圆的离心率【解答】解：椭圆的一个焦点为，可得又，解得，所以椭圆的离心
8、率为：故选C22. 若直线和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：直线即直线恒过点，仅当点在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点在y轴上，所以，且，故b的范围是，故选：B要使直线恒过点，需点在椭圆上或椭圆内，进而求得b的范围本题主要考查了椭圆的性质，考查分析问题解决问题的能力，属基础题23. 已知两点，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的的倾斜角和斜率，属基础题根据条件结合图形即可得出结果【解答】解：点，直线过且与线段AB相交，则l的斜率k满足：或，又，
9、所以或故选A24. 已知椭圆E：，设直线l：交椭圆E所得的弦长为则下列直线中，交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题在直线l中取k值，对应的找到选项A、B、C中的m值，使得直线l与给出的直线关于坐标轴与坐标原点具有对称性得答案【解答】解：当l过点时，取，直线l和选项A中的直线重合，故排除A；当l过点时，取，直线l和选项B中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故排除B；当时，取，直线l和选项C中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦
10、长相同，故不能选C；直线l斜率为k，在y轴上的截距为1，选项D中的直线斜率为m，在y轴上的截距为，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等故选：D二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）25. 已知O为坐标原点，B与F分别为椭圆的上顶点与右焦点，若，则该椭圆的离心率是_【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题根据题设条件可得，再利用椭圆的性质即可求解【解答】解：由，可得，所以，所以，故答案为26. 曲线与曲线的交点个数是_【答案】4【解析】解：联立方程，可得，每一个y对应2个x值，曲线与曲线的交点个数是4，故答案为4联立方程，可得，解得，每
11、一个y对应2个x值，即可得出结论本题考查曲线与曲线交点的个数，考查学生的计算能力，比较基础27. 过圆上任意一点P作x轴的垂线PN，垂足为N，则线段PN的中点M的轨迹方程为_【答案】【解析】解：设，则 在圆上，故答案为：利用中点坐标公式，确定P，M坐标之间的关系，将P的坐标代入圆的方程，即可求得M的轨迹方程本题考查了轨迹方程的求法，中点坐标公式，考查了代入法，属于基础题28. 已知圆C：，定点，M为圆上的一个动点，连接MA，作MA的垂直平分线交半径MC于P，当M点在圆周上运动时，点P的轨迹方程为_【答案】【解析】解：圆C方程为：，点，半径，的垂直平分线交半径MC于P，可得点M是圆C上的动点，长
12、为圆C的半径5，动点P满足，点P的轨迹是以C、A为焦点，的椭圆可得，轨迹的方程为故答案为：根据圆C的标准方程得到点，半径再由线段中垂线定理，可化简出，从而得出点P的轨迹C是以C、A为焦点，的椭圆最后根据椭圆的基本概念，即可得出点P的轨迹对应的椭圆的标准方程本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程着重考查了线段的垂直平分线定理和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）29. 已知圆C：，直线l：当直线l与圆C相交，求a的取值范围；当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求直线l的方程【答案】解：圆C：化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2
13、，当直线l与圆C相交，则有，解得；过圆心C作于D，则根据题意和圆的性质，解得或，故所求直线方程为或【解析】根据圆心到直线的距离小于半径可得a的范围；根据圆中相交弦长的一半与半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，解出参数的值考查圆的相交弦长的计算，属于基础题30. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是这组直线何时与椭圆相交？当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上【答案】解：设一组平行直线的方程为，代入椭圆方程，可得，即为，由判别式大于0，可得，解得，则这组平行直线的纵截距在，与椭圆相交；证明：由直线和椭圆方程联立，可得，即有，截得弦的中点为，由，消去m，可得则这些直线被椭圆
14、截得的线段的中点在一条直线上【解析】设出平行直线的方程：，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题31. 如图，在正三棱柱中，点分别为的中点 求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值【答案】解：以及过点Q与平行的直线为轴建立空间直角坐标系， 则各点的坐标为，故异面直线BP和所成角的余弦值为；，设平面的法向量为，则即，取，得，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查
15、异面直线所成角线面角，属于基础题以及过点Q与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则各点的坐标为，求出向量，求出即可得异面直线BP和所成角的余弦值；求出向量，设平面的法向量为，则即，取，得，再设直线与平面所成角为，求出，即可得直线与平面所成角的正弦值32. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点是椭圆C上的点，离心率求椭圆C的方程；点在椭圆C上，若点N与点A关于原点对称，连接并延长与椭圆C的另一个交点为M，连接MN，求面积的最大值【答案】解：由题意可知：离心率，则，将代入椭圆方程：，解得：，则，椭圆的标准方程：；椭圆的右焦点，设直线AM的方程是，与联立，可得，设，则，于是，点到直线MN的距离于是的面积，的面积当且仅当即时取到最大值【解析】离心率，则，又，将代入椭圆方程：，解得，即可求出椭圆方程设直线AM的方程是，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，求出点到直线AM的距离，可得的面积，利用基本不等式，即可求的面积的最大值面积的最大值是的面积的最大值的2倍代入法求轨迹方程关键是确定坐标之间的关系，直线与圆锥曲线位置关系问题常常需要联立方程组，利用韦达定理属于中档题