1、第七章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像7.3.2 正弦型函数的性质与图像栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解正弦型函数 yAsin(x)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等(重点)2.会用“图像变换法”作正弦型函数 yAsin(x)的图像(难点)通过正弦型函数 yAsin(x)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.正弦型函数(1)形如 yAsin(x)(其中 A，都是常数，且 A0，w0)的函数，通常叫做正弦型函数(2)函数 yAsin(x)(其中
2、 A0，0，xR)的周期 T_，频率 f_，初相为_，值域为_，_也称为振幅，|A|的大小反映了 yAsin(x)的波动幅度的大小2|2|A|,|A|A|栏目导航栏目导航5 2.A，对函数 yAsin(x)图像的影响(1)对函数 ysin(x)图像的影响：(2)对函数 ysin(x)图像的影响：栏目导航栏目导航6(3)A 对函数 yAsin(x)图像的影响：(4)用“变换法”作图：y sin x的 图 像 向_0或向_0平移|个单位长度y sin(x )的 图 像横坐标变为原来的_纵坐标不变ysin(x)的图像纵坐标变为原来的倍横坐标不变yAsin(x)的图像右左1A栏目导航栏目导航7 思考：
3、由 ysin x 的图像，通过怎样的变换可以得到 yAsin(x)的图像？提示 变化途径有两条：(1)y sin x 相位变换 y sin(x )周期变换 y sin(x )振幅变换 yAsin(x)(2)ysin x周期变换 ysin x相位变换 ysin(x)振幅变换 yAsin(x)栏目导航栏目导航8 1.函数 y4sin2x3 1 的最小正周期为()A2 B C2 D4B T22.栏目导航栏目导航9 2.要得到 ysinx4 的图像，只要将 ysin x 的图像()A向右平移4个单位B向左平移4个单位C向上平移4个单位D向下平移4个单位B 将 ysin x 的图像向左平移4个单位可得到
4、 ysinx4 的图像栏目导航栏目导航10 3.已知函数 y3sin15x7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是_，_，_.10 3 7 由函数 y3sin15x7 的解析式知，振幅为 3，最小正周期为 T2|10，初相为7.栏目导航栏目导航11 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航12 正弦型函数的性质与图像【例 1】用“五点法”作函数 y2sinx3 3 的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程思路探究 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质 栏目导航栏目导航13 解 列表：x356 43
5、116 73 x30232 2 y35313 栏目导航栏目导航14 描点连线作出一周期的函数图像 把此图像左、右扩展即得 y2sinx3 3 的图像 栏目导航栏目导航15 由图像可知函数的定义域为 R，值域为1,5，周期为 T2 2，频率为 f1T 12，初相为 3，最大值为 5，最小值为 1.令 2k 2 x 3 2k 2(kZ)得 原 函 数 的 增 区 间 为2k6，2k56(kZ)栏目导航栏目导航16 令 2k2x32k32，(kZ)得原函数的减区间为2k56，2k116(kZ)令 x3k2(kZ)得原函数的对称轴方程为 xk56(kZ)栏目导航栏目导航17 1.用“五点法”作 yAs
6、in(x)的图像，应先令 x 分别为0，2，32，2，然后解出自变量 x 的对应值，作出一周期内的图像2.求 yAsin(x)的单调区间时，首先把 x 的系数化为正值，然后利用整体代换，把 x 代入相应不等式中，求出相应的变量 x的范围栏目导航栏目导航18 1.作出函数 y 2 sin2x4 在 x8，34 上的图像解 令 X2x4，列表如下：X02322 x838587898 y020 20 栏目导航栏目导航19 描点连线得图像如图所示 栏目导航栏目导航20 正弦型函数的图像变换【例 2】函数 y2sin2x3 2 的图像是由函数 ysin x 的图像通过怎样的变换得到的？思路探究 由周期知
7、“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动 栏目导航栏目导航21 解 法一：ysin x 栏目导航栏目导航22 栏目导航栏目导航23 三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略1确定函数 ysin x 的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.2已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.栏目导航栏目导航24 2.为了得到函数 ysinx36，xR 的图像，只需把函数 ysin x，xR 的图像上所有的点：向左平移6 个单位，再把所得各点的横坐标缩
8、短到原来的13(纵坐标不变)；栏目导航栏目导航25 向右平移6 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)；向左平移6 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3倍(纵坐标不变)；向右平移6 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3倍(纵坐标不变)其中正确的是_栏目导航栏目导航26 ysin x向左平移6个单位ysinx6 横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变 ysinx36.栏目导航栏目导航27 求正弦型函数 yAsin(x)的解析式【例 3】如图所示的是函数 yAsin(x)|2 的图像，确定其一个函数解析式思路探究 解答本题可由最高点、最低点确定 A，再由周期确定，然后
9、由图像所过的点确定.栏目导航栏目导航28 解 由图像，知 A3，T，又图像过点 A6，0，所求图像由 y3sin 2x 的图像向左平移6 个单位得到，y3sin 2x6，即 y3sin2x3.栏目导航栏目导航29 确定函数 yAsinx的解析式的关键是 的确定，常用方法有：1代入法：把图像上的一个已知点代入此时 A，已知或代入图像与 x 轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.栏目导航栏目导航30 2五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点，0 作为突破口.“五点”的 x 的值具体如下：“第一点”即图像上升时与 x 轴的交点为 x0；“第二点”即图像的“峰点”为
10、x2；“第三点”即图像下降时与 x 轴的交点为 x；“第四点”即图像的“谷点”为 x32；“第五点”为 x2.栏目导航栏目导航31 3.已知函数 yAsin(x)A0，0，|2 在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式栏目导航栏目导航32 解 由图像可知A2，T243131，T2，T2 2，y2sin(x)代入13，2 得 2sin3 2，sin3 1，|2，6，y2sinx6.栏目导航栏目导航33 正弦型函数 yAsin(x)的对称性探究问题1.如何求函数 yAsin(x)的对称轴方程？栏目导航栏目导航34 提示 与正弦曲线一样，函数 yAsin(x)的图像的对称轴通过函数图像的
11、最值点且垂直于 x 轴 函数 yAsin(x)对称轴方程的求法：令 sin(x)1，得xk2(kZ)，则 x2k122(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图像的对称轴方程为 x2k122(kZ)栏目导航栏目导航35 2.如何求函数 yAsin(x)的对称中心？提示 与正弦曲线一样，函数 yAsin(x)图像的对称中心即函数图像与 x 轴的交点 函数 yAsin(x)对称中心的求法：令 sin(x)0，得 xk(kZ)，则 xk(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图像关于点k，0(kZ)成中心对称 栏目导航栏目导航36【例 4】已知函数 f(x)sin(2x)(00 时)或向右(当 0)对函
12、数 ysin(x)的图像的影响函数 ysin(x)，xR(其中 0，且 1)的图像，可以看作是把 ysin(x)的图像上所有点的横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 00)对函数 yAsin(x)的图像的影响函数 yAsin(x)(A0 且 A1)的图像，可以看作是把 ysin(x)的图像上所有点的纵坐标伸长(当 A1 时)或缩短(当 0A0，0)的方法(1)先平移后伸缩栏目导航栏目导航48(2)先伸缩后平移栏目导航栏目导航49 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航50 1.(2019全国卷)若 x14，x234 是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则()A2 B32 C1
13、 D12A 由题意及函数 ysin x 的图像与性质可知，12T34 4，T，2，2.故选 A栏目导航栏目导航51 2.要得到 y3sin2x4 的图像，只需将 y3sin 2x 的图像()A向左平移4 个单位B向右平移4 个单位C向左平移8 个单位D向右平移8 个单位C y3sin 2x 的图像y3sin2x8的图像，即y3sin2x4 的图像栏目导航栏目导航52 3.函数 y2sinx3 图像的一条对称轴是_(填序号)x2；x0；x6；x6.由正弦函数对称轴可知 x3k2，kZ，xk6，kZ，k0 时，x6.栏目导航栏目导航53 4如图是函数 yAsin(x)(A0，0，|)的图像的一部分，试求该函数的解析式解 由图像可知 A2，T4(62)16，2T 8.又 x6时，860，34，且|.所求函数的解析式为 y2sin8x34栏目导航栏目导航54 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!