1、8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 学习目标 1.掌握空间中直线与直线的位置关系.2.理解异面直线的概念.3.理解直线与平面位置关系的定义.4.理解平面与平面位置关系的定义.重点：空间两条直线的位置关系；直线与平面，平面与平面的位置关系.难点：对异面直线的理解，直线与平面，平面与平面位置关系中文字语言、图形语言和符号语言的转化.一、空间中点与直线、平面的位置关系 空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外.如图，点A在直线AB上，在直线AB外.空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外.如图，点A在平面ABCD内，在平面ABCD外.知识梳理 二、空间中直线与
2、直线的位置关系 1.异面直线(1)定义：不同在平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.任何一个 在同一平面内_不同在任何一个平面内_(3)判断两直线为异面直线的方法 定义法；两直线既不平行也不相交.没有公共点_有且仅有一个公共点_平行 异面 相交 平行 从是否共面的角度来分：相交 异面 2.空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分：三、直线与平面的位置关系 位置关系 表示方法 直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行 符号表示 a a O a 图形表示 公共点情况 有无数个
3、公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 _ 0个 两平面相交 _ _ 平面与平面的位置关系 l 无数个点(共线)四、两个平面的位置关系 一、两直线位置关系的判定 例 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_.常考题型【解析】两直线的位置关系主要依据定义判断.由题图知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1，B，
4、B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”，同理可得直线AB与直线B1C“异面”，所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以应该填“相交”.【答案】平行 异面 相交 异面 判定异面直线的方法（1）定义法：由定义判断出两直线不同在任何一个平面内.（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.（如图所示）.训练题A D 1.2019广州高一检测（1）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A.l至少与l1，l2中的一条相交 B.l与l
5、1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l与l1，l2都不相交（2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 D 2.2019安徽蚌埠高一检测空间中有三条线段AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交 二 直线与平面的位置关系 例2019河南郑州高一检测下列说法中正确的个数是（）若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另
6、一条也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确，说法不正确，相交时也符合；说法不正确，图中，AB与平面DCCD平行，但它与CD不平行；说法不正确，另一条直线有可能在平面内，如ABCD，AB与平面DCCD平行，但直线CD在平面DCCD内；说法正确，l与平面平行，则l与平面无公共点，l与平面内所有直线都没有公共点.【答案】B 判断直线与平面之间位置关系的依据 1.要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义：（1）在直线和平面的三种位置关系中，一种位置关系的反面是另外两种位置关系；（2）直线
7、与平面相交有且只有一个公共点，“有且只有”包含两层含义，即“有”表示存在，“只有”表示唯一.2.要有画图的意识，运用空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题.训练题 1.2019天津高一检测给出下列四个说法：直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线，其中正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 A 训练题 B 2.2019河北衡水高一检测若a，b是异面直线，a，则b与的关系是（）A.b或b B.b与相交或b或b C.b与相交或b D.b与相交或b 判断直线与平面之间位置关系的方法（1）判断直线在
8、平面内，需找到直线上两点在平面内，根据公理1知直线在平面内.（2）判断直线与平面相交，根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.（3）判断直线与平面平行，可根据定义判断直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判断直线与平面平行.三 平面与平面的位置关系 例 2019山东临沂高一检测一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面（）A.一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.一定重合【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中举例说明.如图所示，在平面A1B1C1D1内与A1B1平行的无数条直线平行于平面ABCD，平面A1B1C1D1平面ABCD
9、，在平面ABB1A1内，与AB平行的无数条直线平行于平面ABCD，平面ABB1A1平面ABCDAB.所以两平面平行或相交.C面面位置关系的两种判定方法（1）定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系.（2）借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.训练题 C C 1.2019安徽合肥高一检测如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（）A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 2.过平面外两点作该平面的平行平
10、面，可以作（）A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.1个或2个 四 直线、平面的位置关系的综合应用 例 2019河南鹤壁高一期末下列说法中正确的个数是（）（1）平面与平面，都相交，则这三个平面有2条或3条交线；（2）如果平面外有两点A，B到平面的距离相等，则直线AB；（3）直线a不平行于平面，则a不平行于内任何一条直线.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】（1）平面与平面，都相交，当过平面与的交线时，这三个平面有1条交线，当时，与和各有1条交线，共有2条交线.当b，a，c时，有3条交线，则这三个平面有1条或2条或3条交线，故（1）错误.（2）如果平面外有两点A，B到平面的距离相等，如图所示
11、：若平面外有两点A，B到平面的距离相等，则直线AB和平面可能平行或可能相交，故（2）错误.（3）直线a不平行于平面，则a可能在平面内，此时a与内任何一条直线相交或平行，故（3）错误.【答案】A【名师点拨】线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.训练题 B 2019河南郑州高一检测已知a，b，c表示直线，表示平面，下列四个命题正确的是（）A.若a，b，则ab B.若b，ab，则a或a C.若ac，bc，则ab D.若a，a，b相交，则b 1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.小结