1、第52讲空间距离及其计算、折叠问题1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBCa，AA12a，则点A到直线A1C的距离为()A.a B.aC.a D.a2.(2012大纲卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B.C. D13.将一内角为60，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成90的二面角后，A、C两点间的距离为()A.a B.aC. D.a4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量n(2，2，1)，已知P(1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2C3 D15.(20
2、12辽宁卷)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_6.如图，边长为a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有_(只需填上正确命题的序号)动点A在平面ABC上的射影落在线段AF上；三棱锥AFED的体积有最大值；恒有平面AGF平面BCED；异面直线AE与BD不可能互相垂直；异面直线FE与AD所成角的取值范围是(0，7.如图，正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，求点M到截面ABCD的距离8.已知A(1，0)，B(2，
3、1)，C(1，1)，若坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后BAC的余弦值为_9.二面角a的平面角为120，在平面内，ABa于B，AB2；在平面内，CDa于D，CD3，BD1，M是棱a上的一个动点，则AMCM的最小值为_ 10.如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形(如图)将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图)(1)证明：ACBO1；(2)求二面角OACO1的正弦值第52讲1C2.D3.D4.B5.6.7解析：设点M到截面ABCD的距离为h.连接AC、AM，作CFAB，垂足为F，连接CM.VCABMSABMCM1.又VMABCABCFhh，故由VCABMVMABC，得，
4、所以h.8.解析：作CMx轴于M，折后可知CMBM.因为AC，BM，所BC.又因为AB，所以cos BAC.9.解析：将二面角a展成平面，将AMCM转化为平面上的距离，则AMCM的最小值为AC，易求得AC.10解析：方法1：(1)证明：由题设知，OAOO1，OBOO1，所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.从而AO平面OBCO1.OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan OO1B，tan O1OC，所以OO1B60，O1OC30，从而OCBO1，由线面垂直得ACBO1.(2)由(1)知，ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1BE，过点E作EFAC于F，连接O1F
5、，则EF是O1F在平面AOC内的射影由线面垂直得ACO1F，所以O1FE是二面角OACO1的平面角由已知，OA3，OO1，O1C1，所以O1A2，AC，从而O1F.又O1EOO1sin 30，所以sin O1FE.方法2：(1)证明：由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图则相关各点的坐标是A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，1，)，O1(0， 0，)从而(3，1, )，(0，3, )，故30，所以ACBO1.(2)因为30，所以BO1OC.由(1)知ACBO1，ACOCC，所以BO1平面OAC，所以是平面OAC的一个法向量设n(x，y，z)是平面O1AC的一个法向量，由，得，取z，得n(1，0，)设二面角OACO1的大小为，由n、的方向可知n，所以cos cos n，则sin .即二面角OACO1的正弦值为.