1、 核心概念掌握 知识点一复平面的相关概念如图，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 zabi 可用点 Z(a，b)表示这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 复数集 C 中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数 zabi一一对应复平面内的点 Z(a，b)01 复平面02 实轴03 虚轴知识点二 复数的向量表示如图，设复平面内的点 Z 表示复数 zabi，连接 OZ，显然向量OZ是由 唯一确定的；反过来，点 Z 也可以由向量 唯一确定01 点 Z02 OZ复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数 0 与零向量对应)，即复数
2、zabi一一对应平面向量OZ.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示 03 同一个复数知识点三 复数的模的定义公式向量OZ的模叫做复数 zabi 的模或绝对值，记作 或 ，即|z|abi|a2b2(a，bR)如果 b0，那么 zabi 是一个实数 ，它的模等于 (a的 )知识点四 共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫 01|z|02|abi|03 a04|a|05 绝对值01 共轭复数02 共轭虚数1复数的向量表示(1)任何一个复数 zabi 与复平面内一点 Z(a，b)对应，而任一点 Z(a，b)又可以与以原
3、点为起点，点 Z(a，b)为终点的向量OZ对应，这些对应都是一一对应，即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行2共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即 z zzR.利用这个性质，可以证明一个复数是实数(3)z z|z|2|z|2R.z 与 z互为实数化因式1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数
4、都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()2做一做(1)若OZ(0，3)，则OZ对应的复数为_(2)复数 z14i 位于复平面上的第_象限(3)复数 3i 的模是_(4)复数 56i 的共轭复数是_答案(1)3i(2)四(3)3(4)56i答案 核心素养形成 题型一复平面内复数与点的对应例 1 在复平面内，若复数 z(m2m2)(m23m2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线 yx 上，分别求实数 m 的取值范围解 复数 z(m2m2)(m23m2)i 的实部为 m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得 m2m20
5、，解得 m2 或 m1.(2)由题意得m2m20，1m2或m1，1m0，解得 m5，所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方答案(2)由题意得(m25m6)(m22m15)40，解得 m1 或 m52，所以当 m1 或 m52时，复数 z 对应的点在直线 xy40 上.答案 题型二复平面内复数与向量的对应例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,32i，24i，试求：(1)AO 表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点 B 对应的复数解 由题意得 O 为原点，OA(3,2)，OC(2,4)(1)AO OA(3,2)(3，2)AO 表示的复数为3
6、2i.答案(2)CAOA OC(3,2)(2,4)(5，2)，CA表示的复数为 52i.(3)OB OA OC(3,2)(2,4)(1,6)，OB 表示的复数为 16i，即点 B 对应的复数为 16i.答案 复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解(1)复数 43i 与25i 分别表示向量OA 与OB，则向量AB表示的复数是_；(2)在复平面内，O 为原点，向量OA 对应复数为12i，则点 A 关于直线 yx 对称点为 B，向量OB 对应复数为_答案(1)68i(2)2i答案 解析(1)因为复数 43i
7、 与25i 分别表示向量OA 与OB，所以OA(4,3)，OB(2，5)，又ABOB OA(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量AB表示的复数是68i.(2)点 A(1,2)关于直线 yx 对称的点为 B(2,1)，所以OB 2i.解析 题型三复数模的综合应用例 3 设 zC，则满足条件|z|34i|的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集合是什么图形？解 由|z|34i|得|z|5.这表明向量OZ的长度等于 5，即点 Z 到原点的距离等于 5.因此满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 5 为半径的圆答案 巧用复数的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数
8、 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离也就是向量OZ的模，|z|OZ|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点 P，Q 所对应的复数分别为 z1，z2，则|PQ|z2z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题设 zC，且满足下列条件，在复平面内，复数 z 对应的点 Z 的集合是什么图形？(1)1|z|2；(2)|zi|1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数 z 对应的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界答案(2)
9、根据模的几何意义，|zi|1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)的距离为 1.满足|zi|1 的点 Z 的集合为以(0,1)为圆心，以 1 为半径的圆内的部分(不含圆的边界)答案 随堂水平达标 1已知 aR，且 0a1，i 为虚数单位，则复数 za(a1)i 在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 0a0 且 a10，故复数 za(a1)i 在复平面内所对应的点(a，a1)位于第四象限故选 D解析 答案 D答案 2复数 z(a22a)(a2a2)i 对应的点在虚轴上，则()Aa2 或 a1Ba2 且 a1Ca0Da2 或 a0解析 由点 Z 在虚轴上可知，点 Z 对应的复数是纯虚数和 0，a22a0，解得 a2 或 a0.解析 答案 D答案 3已知复数 z12i(i 是虚数单位)，则|z|_.解析 因为 z12i，所以|z|1222 5.解析 答案 5答案 4已知复数 z3ai，且|z|5，则实数 a 的取值范围是_解析|z|32a25，解得4a4.解析 答案 4a0，4m28m30，解得 m32.所以实数 m 的取值范围为，1 5232，.答案 课后课时精练
