1、6.1 平面向量的概念 第六章 平面向量及其应用 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景.2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.3.理解平面向量的几何表示和基本要素.重点：相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示.难点：对向量、共线向量的理解.1向量的概念和表示方法(1)概念：既有，又有的量称为向量(2)向量的表示：大小方向几何表示：用来表示向量，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，表示法字母表示：用小写字母a，b，c，表示，手写时必须加箭头有向线段大小方向点睛 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线
2、段向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段知识梳理 2向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的叫做向量的长度(2)向量的长度表示：向量 AB，a 的长度分别记作：.(3)特殊向量：的向量为零向量，记作 0；的向量，叫做单位向量点睛 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同大小长度为0长度等于1个单位|AB|，|a|3向量间的关系(1)相等向量：长度且方向的向量，叫做相等向量，记作：ab.(2)平行向量：方向的非零向量，也叫；a 平行于 b，记作；规定零向量与任一向量点
3、睛 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同相等相同相同或相反共线向量平行ab例1 一 向量的基本概念 常考题型 2019湖北省荆州中学高一检测下列结论正确的序号有.（1）若a，b都是单位向量，则ab；（2）物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；（3）方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量；（4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.【解析】对于（1），单位向量的方向不一定相同，（1）错误；对于（2），物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，（2）正确；对于（3），如图所示，方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量在一条直线上，是共线向量
4、，（3）正确；对于（4），直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，不是向量，（4）错误.综上，正确的结论有（2）（3）.【答案】（2）（3）【概念辨析】1.判断一个量是否为向量应从两个方面入手（1）是否有大小；（2）是否有方向.2.注意两个特殊向量：零向量和单位向量（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等.（2）单位向量不一定相等，因为单位向量的方向不一定相同.3.平行向量与共线向量的含义（1）平行向量与共线向量是同一概念的不同名称，根据定义可知，平行（共线）向量所在的直线可以平行，也可以重合.（2）共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同.（3）平行向量可以在同
5、一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点.【注意】对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行和重合两种情况.训练题下列说法正确的是（）A.若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B.共线向量一定在同一直线上C.若|a|b|，则abD.单位向量的长度为12019河南南阳高一检测下列说法正确的是（）A.若|a|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反B.若向量 AB，CD满足|AB|CD|，且 AB 与CD同向，则 AB CDC.若ab，则a与b可能是共线向量D.若非零向量 AB与CD平行，则A，B，C，D四点共线1.2.DC二 向量的表示例2 在
6、如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA，使|OA|4 2，点A在点O北偏东45方向上；（2）AB，使|AB|4，点B在点A正东方向上；（3）BC，使|BC|6，点C在点B北偏东30方向上.【解】（1）因为点A在点O北偏东45方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA|4 2，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示.（2）因为点B在点A正东方向，且|AB|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量 AB
7、如图所示.（3）由于点C在点B北偏东30方向上，且|BC|6，根据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3 3 5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC 如图6-1-2所示.【概念辨析】向量与有向线段的区别和联系（1）区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量.在平面中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的.（2）联系：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段.用有向线段表示向量的步骤训练题一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50方向行驶了200 km到达
8、C点，又改变方向，向东行驶了100km到达D点.（1）作出向量 AB，BC，CD；（2）求汽车从A点到D点的位移大小|AD|.解：（1）向量 AB，BC，CD如图所示.（2）由题意，易知 AB 与CD 方向相反，故 AB 与CD共线.又|AB|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|AD|BC|200km.例3 三 相等向量与共线向量如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，找出下列向量.（1）与向量 EF 相等的向量；（2）与向量 DF 共线的向量.【解题提示】（1）由EF是ABC的中位线
9、，且D为AB的中点，结合向量相等的概念得到与向量 EF 相等的向量；（2）由DF是ABC的中位线，且E为BC的中点，结合向量相等和共线的概念得到与向量DF 共线的向量.【解】（1）E，F分别为BC，AC的中点，EFBA，且EF 12 BA.又D是BA的中点，EF BDDA，与向量 EF 相等的向量是BD，DA.（2）D，F分别为BA，AC的中点，DFBC，且DF 12 BC.又E是BC的中点，DF BEEC，与向量 DF 共线的向量是 BE，EC，CE，EB，BC，CB，FD.【概念辨析】如何区分相等向量与共线向量？（1）相等向量必须满足长度相等且方向相同，缺一不可.在平面内，相等的向量有无数
10、多个，它们的方向相同且长度相等.（2）平行向量的方向相同或相反，与几何中的平行不同，两个平行向量的位置关系既可以是在同一条直线上，也可以是在两条平行直线上.（3）共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.寻找相等向量的方法先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量.寻找共线向量的方法先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.训练题1.2019杭州高一检测设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是（）A.AOOCB.BO/DBC.AB
11、 与CD共线D.AO BOD解析：如图，AO与OC 方向相同，长度相等，A正确.B，O，D三点在一条直线上，BODB，B正确.ABCD，AB 与CD共线，C正确.AO与 BO方向不同，AO BO，D错误.2.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图.（1）写出与向量 FC 共线的向量.（2）求证：BE FD.（1）解：由共线向量满足的条件，得与向量FC 共线的向量有CF，BC，CB，BF，FB，ED，DE，AE，EA，AD，DA.（2）证明：在ABCD中，AD綊BC.又E，F分别为AD，BC的中点，ED綊BF，四边形BFDE是平行四边形，BE綊FD，BEFD.小结 1向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑2共线向量与平行向量是一组等价的概念，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量但两个共线向量不一定是在同一条直线上同一直线上的向量也是平行向量3向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量的模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小
