1、1异面直线(1)定义：不同在_的两条直线空间两直线的位置关系导入新知2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系任何一个平面内(2)异面直线的画法：2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有_公共点平行同一平面内，_公共点异面直线不同在_内，_公共点一个没有任何一个平面没有1对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线例如，如右图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，
2、故AB与B1C1是异面直线化解疑难2空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线有且仅有一个公共点相交直线无公共点平行直线异面直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线共面直线相交直线平行直线不共面直线：异面直线平行公理及等角定理导入新知1平行公理(公理 4)(1)文 字 表 述：平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相_这一性质叫做空间_(2)符号表述：abbc _.平行平行线的传递性ac2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应_，那么这两个角_或_3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 aa，bb，我
3、们 把 a 与 b 所 成 的 _(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：_.(3)当_时，a与b互相垂直，记作_.平行相等互补锐角直角09090ab对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补化解疑难例1 如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：两直线位置关系的判定(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B
4、与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面类题通法1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB 与 l 是异面直线(如右图)活学活用如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点
5、问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由：M，N 分别是 A1B1，B1C1 的中点，MNA1C1.又 A1A D1D，而 D1D C1C，A1A C1C.四边形 A1ACC1 为平行四边形A1C1AC，得到 MNAC.A，M，N，C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线(2)是异面直线证明如下：假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内，则 B平面CC1D1，C平面 CC1D1，BC 平面 CC1D1.而 BC平面 CC1D1，BC平面 CC1D1，假设不成立，故 D1B 与 CC1 是异面直线
6、例2 如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.平行公理及等角定理的应用证明(1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，A1D1的中点，MM1 AA1.又AA1 BB1，MM1BB1，且 MM1BB1，四边形 BB1M1M 为平行四边形(2)由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC 和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.类题通法1证明两条直线平行的方法：(1
7、)平行线定义(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等(3)公理4.2空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的活学活用已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，CC1的中点求证：BF ED1.证明：如图所示，取 BB1 的中点 G，连接 GC1，GE.F 为 CC1 的中点，BG C1F.四边形 BGC1F 为平行四边形BF GC1.又EG A1B1，A1B1 C1D1，EG D1C1，四边形 EGC1D1 为平行四边形，
8、ED1 GC1，BF ED1.例3 如右图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小两异面直线所成的角解 取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG，E 是 BD1 的中点，EGBC，EG12BC.F 是 AD 的中点，且 ADBC，ADBC，DFBC，DF12BC，EGDF，EGDF，四边形 EFDG 是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角又A1AAB，四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1 都是正方形，且 G 为 CD1 的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线
9、 CD1，EF 所成的角为 90.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角(2)证：证明作出的角就是要求的角(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的取值范围是090.活学活用已知ABCDA1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小解：如右图所示，连接A1D和C1D.B1CA1D，DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，A1DA1C1C1D，A1C1D为等边三角形即C1A1D60.异面直线A1C1与B1C所成的角为6
10、0.典例 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形2.探究空间中四边形的形状问题证明 如右图所示，连接 BD.因为 EH 是ABD 的中位线，所以 EHBD，且 EH12BD.同理，FGBD，且 FG12BD.因此 EHFG.又 EHFG，所以四边形 EFGH 为平行四边形多维探究1矩形的判断本例中若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题可知EHBD，同理EFAC，又BDAC，因此EHEF，所以四边形EFGH为矩形2菱形的判断本例中，若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题知 EHB
11、D，且 EH12BD，同理 EFAC，且 EF12AC.又 ACBD，所以 EHEF.又四边形 EFGH 为平行四边形，所以四边形 EFGH 为菱形3正方形的判断本例中，若加上条件“ACBD，且ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由探究1与2可知，四边形EFGH为正方形4梯形的判断若本例中，E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CFFBCGGD12，则四边形EFGH是什么形状？证明：由题意可知 EH 是ABD 的中位线，则 EHBD 且 EH12BD.又CFFBCGGD12，FGBD，FGBDFCBC13，FG13BD，FGEH 且 FGEH，四边形 EFGH 是梯形方法感悟根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法 应用 落实体验(单击进入电子文档)