1、第七章 三角函数 7.2 任意角的三角函数7.2.2 单位圆与三角函数线栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.单位圆(1)一般地把半径为 1 的圆叫做(2)角 的和分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标正弦单位圆余弦栏目导航栏目导航5 2.三角函数线
2、 栏目导航栏目导航6 思考：三角函数线的方向是怎样确定的？提示 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与 x 轴或 y 轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值栏目导航栏目导航7 1.如图，在单位圆中角 的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线PM，正切线ATB正弦线MP，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线PM，正切线ATC 由三角函数线的定义知 C 正确栏目导航栏目导航8 2.角5和角65 有相同的()A正弦线 B余弦线C正切线D不能确定C 5与65 的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线栏目导航栏目导航9 3.角56 的终边与单位圆的交点的坐标是_ 32，12
3、 由于角56 的终边与单位圆的交点横坐标是 cos 56 32，纵坐标是 sin 56 12，角56 的终边与单位圆的交点的坐标是 32，12.栏目导航栏目导航10 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航11 三角函数线的概念【例 1】(1)设 P 点为角 的终边与单位圆 O 的交点，且 sin MP，cos OM，则下列命题成立的是()A总有 MPOM1B总有 MPOM1C存在角，使 MPOM1D不存在角，使 MPOM0(2)分别作出34 和47 的正弦线、余弦线和正切线栏目导航栏目导航12(1)C 显然，当角 的终边不在第一象限时，MPOM1，MPOM0 都有可能成立；当角 的终边落
4、在 x 轴或 y 轴正半轴时，MPOM1，故选 C栏目导航栏目导航13(2)解 在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以 Ox 轴为始边作34 角，角的终边与单位圆交于点 P，作 PMOx 轴，垂足为 M，由单位圆与 Ox 轴正方向的交点 A 作 Ox 轴的垂线，与 OP 的反向延长线交于T 点，则 sin 34MP，cos 34OM，tan 34AT，即34 的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.栏目导航栏目导航14 同理可作出47 的正弦线、余弦线和正切线，如图乙 sin 47 M1P1，cos47 O1M1，tan47 A1T1，即47 的正弦线为M1P1，余弦线为O1M1，正切线为A1
5、T1.栏目导航栏目导航15 1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线2.作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线栏目导航栏目导航16 1.下列四个命题中：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和 有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上不正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3栏目导航栏目导航17 C 由三角函数线的定义正确，不正确中有相同正弦线
6、的角可能不等，如56 与6；中当 2时，与 都没有正切线栏目导航栏目导航18 利用单位圆解三角不等式【例 2】在单位圆中画出适合下列条件的角 终边的范围，并由此写出角 的集合(1)sin 32；(2)cos 12.思路探究 作出满足 sin 32，cos 12的角的终边，然后根据已知条件确定角 终边的范围栏目导航栏目导航19 解(1)作直线 y 32，交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为|2k32k23，kZ.栏目导航栏目导航20(2)作直线 x12，交单位圆于 C，D 两点，连接 OC
7、与 OD，则OC 与 OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为|2k23 2k43，kZ.栏目导航栏目导航21 1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：(1)作出取等号的角的终边；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；(3)将图中的范围用不等式表示出来 2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域栏目导航栏目导航22 2.求 ylg(1 2cos x)的定义域解 如图所示，1 2cos x0，cos x 22，2k4x2k7
8、4(kZ)，函数定义域为(2k4，2k74)(kZ).栏目导航栏目导航23 三角函数线的综合应用探究问题1.为什么在三角函数线上，点 P 的坐标为(cos，sin)，点 T 的坐标为(1，tan)呢？栏目导航栏目导航24 提示 由三角函数的定义可知 sin yr，cos xr，而在单位圆中，r1，所以单位圆上的点都是(cos，sin)；另外角的终边与直线 x1 的交点的横坐标都是 1，所以根据 tan yx，知纵坐标 ytan，所以点 T 的坐标为(1，tan)栏目导航栏目导航25 2.如何利用三角函数线比较大小？提示 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入
9、座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负栏目导航栏目导航26【例 3】已知 0，2，试比较 sin，tan 的大小思路探究 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin，tan，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决栏目导航栏目导航27 解 如图所示，设角 的终边与单位圆交于点 P，单位圆交 x轴正半轴于点 A，作 PMx 轴，作 ATx 轴，交 的终边于点 T，由三角函数线定义，得 sin MP，tan AT，又 AP的长，SAOP12OAMP12sin，栏目导航栏目导航28 S 扇形 AOP12APOA12AP12，SAOT12OAAT12tan.又SAOPS
10、 扇形 AOPSAOT，sin tan.栏目导航栏目导航29 1.本题的实质是数形结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题栏目导航栏目导航30 3.利用三角函数线证明：|sin|cos|1.证明 （图略）在OMP 中，OP1，OM|cos|，MP|sin|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin|cos|1.当点 P 在坐标轴上时，|sin|cos|1.综上可知，|sin|cos|1.栏目导航栏目导航31 1.应用三角函数线比较大小的策略
11、三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向栏目导航栏目导航32 2.利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于 sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线 yb 或 xa 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于 tan xc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.栏目导航栏目导航33 当 堂
12、 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航34 1.已知(02)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么 的值为()A34 或4 B54 或74C4或54D4或74C 由题意 的终边为一、三象限的平分线，且 02，故得 4或54.栏目导航栏目导航35 2.在0,2上满足 sin x12的 x 的取值范围是()A0，6B6，56C6，23D56，B 画出单位圆(图略)，结合正弦线得出 sin x12的取值范围是6，56.栏目导航栏目导航36 3.用三角函数线比较 sin 1 与 cos 1 的大小，结果是 .sin 1cos 1 41cos 1.栏目导航栏目导航37 4在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边(1)sin 23；(2)cos 35.栏目导航栏目导航38 解(1)作直线 y23交单位圆于 P，Q 两点，则 OP 与 OQ 为角 的终边，如图甲 甲 乙(2)作直线 x35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 的终边，如图乙栏目导航栏目导航39 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!