1、3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）一幂函数(1)幂函数的定义：一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yxyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增(，0上单调递减；(0， )上单调递增R上单调递增0，)上单调递增(，0)和(0，)上单调递减公共点(1，1)二一元二次函数1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)
2、2二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于x对称3根与系数的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)0的两个根，且|M1M2|x1x2|一幂函数的性质与图象特征的关系1.解析式：幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2.奇偶性:判断幂函数yx(R)的奇偶性时，当是分数时，一般将其先化为根式，再判断3.单调性
3、：(1)当0时，函数在(0，)上单调递增(2)当0时，函数在(0，)上单调递减(3)当x(0，1)时，越大，函数值越小，当x(1，)时，越大，函数值越大4.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定二一元二次函数1.解析式2.二次函数图象（1）是看二次项系数的符号；（2）是看对称轴和顶点；（3）是看函数图象上的一些特殊点3.二次函数图象与性质(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是求定区间上的二次函数最值问题，先“定性”
4、(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论4由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min 考法一 幂函数的性质【例1-1】（2023海南统考模拟预测）已知为幂函数，则（）A在上单调递增B在上单
5、调递减C在上单调递增D在上单调递减【例1-2】（2023全国高三对口高考）给定一组函数解析式：；如图所示一组函数图象图象对应的解析式号码顺序正确的是（）ABCD【例1-3】（2023江苏）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（）A-2BC2D3【一隅三反】1.（2023上海黄浦统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为_2（2023江苏淮安江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是_.3（2023四川成都石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（）AB是减函数C是奇函数D是偶函数4（2023全国高三对口高考）已知幂函数（且p与q
6、互质）的图像如图所示，则（）Ap、q均为奇数且Bp为奇数，q为偶数且Cp为奇数，q为偶数且Dp为偶数，q为奇数且考法二 指数式比较大小【例2】（2023浙江高三专题练习）已知，则（）AB【一隅三反】1（2023河北）已知，则a，b，c的大小关系为（）ABCD2（2023全国高三专题练习）已知，则（）ABCD考法三 二次函数性质【例3-1】（2023云南）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（）ABCD【例3-2】（2023山西）若函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）ABCD【例3-3】（2023山东淄博）设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值_【一隅三反】1（
7、2023广西）已知（b，c为实数），且，则的解析式为_.2（2023全国高三专题练习）已知二次函数的图象过点，且顶点到x轴的距离等于2，二次函数的表达式为_3（2023福建）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（）ABC或D或考法四 二次函数根的分布【例4-1】（2023全国高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（）ABCD【例4-2】（2023宁夏银川银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A-2BCD1【例4-3】（2023全国高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（）AB
8、CD【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为_2（2023北京）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_3（2023全国高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为_考法五 二次函数成立问题【例5-1】（2023辽宁大连大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（）A BCD【例5-2】（2023全国高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）ABCD【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为_2（2023福建）命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为_.3（2023全国高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_.4（2023全国高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为_.
