1、第10课时 导数在研究函数中的应用导数在实际生活中的应用一、填空题1(江苏省启东中学高三质量检测)曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_解析：曲线yx3x在点处的切线斜率为y|x1x1(x21)|x12，所以切线的方程为y2(x1)，即y2x，与x轴的交点和y轴的交点为，所求面积为S.答案：2(江苏省高考命题研究专家原创卷)设mR，若函数yex2mx，有大于零的极值点， 则m的取值范围是_解析：因为函数yex2mx，有大于零的极值点，所以yex2m0有大于零的实根令y1ex，y22m，则两曲线的交点必在第一象限由图象可得2m1，即m.答案：m3(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知
2、f(x)x22xaln x，若f(x)在区间(0,1上恒为单调函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知，f(x)2x2，f(x)在区间(0,1上恒为单调函数，f(x)在区间(0,1上恒大于等于0或恒小于等于0，2x22xa0或2x22xa0在区间(0,1上恒成立，即a(2x22x)或a(2x22x)，而函数y2x22x在区间(0,1的值域为4,0)，a0或a4.答案：a0或a44已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)0，f(x)0，则函数yxf(x)的递增区间是_解析：当x0时，yxf(x)f(x)xf(x)0，yxf(x)在(0，)上递增又f(x)为奇函数，yxf(x)为偶函数，yxf
3、(x)在(，0)上递减答案：(0，)5某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是RR(x)，则总利润最大时，每年生产的产品是_解析：由题意得，总成本函数为CC(x)20 000100x，所以总利润函数为PP(x)R(x)C(x)而P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，P最大答案：3006 (江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数f(x)0恒成立，且f(4)1，若f(xy)1，则x2y22x2y的最小值是_解析：由f(x)在(0，)上的导函数f(x)0，y0.又因为x2y22x2y(x
4、1)2(y1)22，(x1)2(y1)2可以看作是(x，y)到(1，1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x2y22x2y的最小值是16.答案：167(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数yf(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x)，两边求导得g(x)ln f(x)g(x)，于是yf(x)g(x).运用此方法可以探求得知y (x0)的一个单调递增区间为_解析：由题意得y2(1ln x)，由y0得0xe，所以单调递增区间为(0，e)答案：(0，e)二、解答题8(2010东台中学高三诊断)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通
5、过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等设细绳的总长为y m.(1)设CA1O=(rad)，将y表示成的函数关系式；(2)请你设计，当角正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长解：(1)在RtCOA1中，CA1=，CO=2tan，y=3CA1+CB=3+2-2tan =+2(0时，y0；sin时，y0，y=sin在上是增函数，当角满足sin=时，y最小，最小为4+2；此时BC=2-
6、(m)9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比(1)将此枕木翻转90(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：(1)由题可设，安全负荷y1=k ( k为正常数)，翻转90后，安全负荷y2=k.，当0da时，y1y2，安全负荷变大；当0ad时，y2y1，安全负荷变小；当d=a时，y1=y2，安全负荷不变故将此枕木翻转90后，安全负荷不一定变大(
7、2)设截取的宽为a，高为d，则，即a2+4d2=4R2.枕木的长度不变u=ad2最大时，安全负荷最大由题意可设u(a)=ad2=a(R2-a2)，u(a)=R2-a2，令u(a)=0，可得a=R.当0a0，函数u(a)单调递增；当Ra2R时，u(a)0，函数u(a)单调递减所以当a=R，d=R时，u(a)取得最大，即安全负荷最大10(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)f(x)在1，)上是单调增函数，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a2时，f(x)2x.当x变化时，f(x)和f
8、(x)的值变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，极小值是f(1)1.(2)由g(x)x2aln x，得g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调递增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即不等式2x0在1，)上恒成立也即a2x2在1，)上恒成立. 令(x)2x2，则(x)4x.当x1，)时，(x)4x0，(x)2x2在1，)上为减函数，(x)max(1)0，a0.故a的取值范围为0，)1某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，
9、轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格解：设轮船航行速度为v公里/小时，则0v25.又设总费用为y元，则y480av3.(其中a为比例系数)由条件30a103，所以a.代入上式有y30v2，v(0,25，所以y60v令y0，解得v20.当v20时，y20时，y0，又v20是(0,25内唯一极值点且是极小值点，于是，当v20时，y有最小值36 000元所以平均每个乘客的费用为9
10、0(元)因此，该公司可定票价为100元2(2010扬州中学上学期期中卷)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a0，求函数f(x)在2a,4a上的最小值；(3)某同学发现：总存在正实数a、b(ab)，使abba，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围(不需要解答过程)解：(1)定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，则xe，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)f(x)的单调增区间为(0，e)；单调减区间为(e，)(2)由(1)知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所
11、以，当4ae，即a时，f(x)在2a,4a上单调递增，f(x)minf(2a)；当2ae，即a时，f(x)在2a,4a上单调递减，f(x)minf(4a)当2ae4a时，即a时，f(x)在2a，e上单调递增，f(x)在e,4a上单调递减，f(x)minminf(2a)，f(4a)下面比较f(2a)，f(4a)的大小，f(2a)f(4a)，若a1，则f(2a)f(4a)0，此时f(x)minf(2a)；若1a0，此时f(x)minf(4a)，综上得：当01时，f(x)minf(4a).(3)正确，a的取值范围是1ae.注:理由如下,考虑几何意义,即斜率,当x时， f(x)0.或者由极限得又f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减f(x)的大致图象如右图所示，总存在正实数a、b且1aeb，使得f(a)f(b)，即，即abba.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m