1、第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算(重点)2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点)1.通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养2.借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制规定 60 分等于 1 度，60 秒等于 1 分(2)弧度制：长度等于的圆弧所对的为 1
2、弧度的角，记作.以为单位来度量角的制度叫做弧度制弧度角度制半径长圆心角1 rad栏目导航栏目导航5 2.角的弧度数的计算在半径为 r 的圆中，若弧长为 l 的弧所对圆心角为 rad，则 _.lr栏目导航栏目导航6 3.角度与弧度的互化栏目导航栏目导航7 4一些特殊角与弧度数的对应关系角度0153045607590120135150 弧度_12_56 角度 180210225240270300315330360 弧度_5443_53_116_ 0 643512223347632742栏目导航栏目导航8 思考 1：某同学表示与 30角终边相同的角的集合时写成 S|2k30，kZ，这种表示正确吗？为
3、什么？提示 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为2k6，kZ或|k36030，kZ栏目导航栏目导航9 5扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为 r，弧长为 l，为其圆心角，则 为度数 为弧度数 扇形的弧长l_l_扇形的面积S_S_ r180rr236012lr12r2栏目导航栏目导航10 思考 2：在弧度制下的扇形面积公式 S12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？提示 此公式可类比三角形的面积公式来记忆栏目导航栏目导航11 1.1 080等于()A1 080 B 10C310D6D 1 0801806，所以 1 080化为弧度是 6.栏目导航栏目
4、导航12 2.与角23 终边相同的角是()A113 B2k23(kZ)C2k103(kZ)D(2k1)23(kZ)栏目导航栏目导航13 C 选项 A 中113 253，与角53 终边相同，故 A 项错；2k23，kZ，当 k1 时，得0,2)之间的角为43，故与43 有相同的终边，B 项错；2k103，kZ，当 k2 时，得0,2)之间的角为23，与23 有相同的终边，故 C 项对；(2k1)23，kZ，当 k0 时，得0,2)之间的角为53，故 D 项错栏目导航栏目导航14 3.圆心角为3弧度，半径为 6 的扇形的面积为_6 扇形的面积为126236.栏目导航栏目导航15 合 作 探 究 提
5、 素 养 栏目导航栏目导航16 弧度制的概念【例 1】下列命题中，假命题是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的 1360，1 rad 的角是周角的 12C1 rad 的角比 1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关栏目导航栏目导航17 思路探究 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手D 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 项是假命题，A、B、C 项均为真命题栏目导航栏目导航18 弧度制与角度制的区别与联系区别单位不同，弧度制以“
6、弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；定义不同 联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值栏目导航栏目导航19 1.下列各说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于 2C1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度答案 D栏目导航栏目导航20 角度制与弧度制的转换【例 2】设角 1570，2750，135，273.(1)将 1，2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将 1，2 用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们终边相同的所有角栏目导航栏目导航21 思路探究
7、由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角570，750，用弧度制给出的两个角35，73；(2)终边相同的角的表示 解答本题(1)可先将570，750化为弧度角再将其写成 2k(kZ,02)的形式，解答(2)可先将 1、2 用角度制表示，再将其写成 k360(kZ)的形式栏目导航栏目导航22 解(1)要确定角 所在的象限，只要把 表示为 2k0(kZ,002)的形式，由 0 所在象限即可判定出 所在的象限 1570196 456，2750256 46.1 在第二象限，2 在第一象限 栏目导航栏目导航23(2)135 108，设 1k360(kZ)，由7200，得720108k3600
8、，k2 或 k1，在7200间与 1 有相同终边的角是612和252.同理 2420且在7200间与 2 有相同终边的角是60.栏目导航栏目导航24 角度制与弧度制的转换中的注意点 1在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键.由它可以得：度数 180弧度数，弧度数180度数.2特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.栏目导航栏目导航25 3在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如 2k30，kZ 是不正确的写法.4判断角 终边所在的象限时，若 2，2，应首先把 表示成 2k，2，2的形式，然后利用角 终边所在的象限来确定角 终边所在的象限.栏目导航栏目导
9、航26 2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 的集合栏目导航栏目导航27 解 因为 306 rad,21076 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为k6，kZ，而终边在 y 轴上的角为 k2，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为k6k2，kZ.栏目导航栏目导航28 弧长公式与扇形面积公式的应用探究问题1.用公式|lr求圆心角时，应注意什么问题？提示 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负栏目导航栏目导航29 2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示 若已知的
10、角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错栏目导航栏目导航30【例 3】(1)设扇形的周长为 8 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 rad B2 radC3 radD4 rad(2)已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？栏目导航栏目导航31 思路探究(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解栏目导航栏目导航32(1)B 设扇形半径为 r，弧长为 l，由题意得 2rl8，12lr4，解得l4，r2，则圆心角 lr2 rad.栏目导航栏目导航
11、33(2)解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S.则 l202r，S12lr12(202r)rr210r(r5)225(0r10)当半径 r5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2.此时 lr202552 rad.当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，最大面积为 25 cm2.栏目导航栏目导航34(变条件)用 30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为，半径为 r，面积为 S，弧长为 l，则有 l2r30，l302r，从而 S12lr12(302r)rr215rr15222254.栏目导航栏目导
12、航35 当半径 r152 cm 时，l302152 15 cm，扇形面积的最大值是2254 cm2，这时 lr2 rad.当扇形的圆心角为 2 rad，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm2.栏目导航栏目导航36 弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S12r2 和 S12lr；(这里 必须是弧度制下的角)；(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.栏目导航栏目导航37 1.释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二(2)运
13、用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是 为弧度制(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：lr，lr，rl；S12r2，2Sr2.栏目导航栏目导航38 2.角度制与弧度制的比较角度制用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关单位“”不能省略角的正负与方向有关六十进制 弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制栏目导航栏目导航39 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航40 1.把 5615化为弧度是()A58 B54C56D516D 561556.252254 18
14、0516.栏目导航栏目导航41 2.在半径为 10 的圆中，240的圆心角所对弧长为()A403 B203 C2003 D4003 A 240240 180 rad43 rad，弧长 lr4310403，选 A栏目导航栏目导航42 3.将1 485化成 2k(02，kZ)的形式为_1074 由1 4855360315，所以1 485可以表示为1074.栏目导航栏目导航43 4一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数解 设扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为，则 2rl4.由扇形的面积公式 S12 lr，得12lr1.由得 r1，l2，lr2 rad.扇形的圆心角为 2 rad.栏目导航栏目导航44 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!