1、第5讲圆锥曲线的综合问题考情分析1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容,常见的热点题型有:范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题等.2.以解答题的压轴题形式出现,难度较大母题突破1范围、最值问题母题(2020长沙模拟)已知椭圆E:1.若椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,记F1MN的内切圆的半径为r,试求r的取值范围思路分析引入参数,设直线l的方程联立l和E的方程(设而不求,根与系数的关系)等积法求出r的表达式函数思想求r的范围解设M(x1,y1),N(x2,y2),则F1MN的周长为4a8.(|F1M|F1N|MN|)r4r,即r,当lx轴时
2、,l的方程为x1,|MN|3,r|MN|F1F2|,当l与x轴不垂直时,设l:yk(x1)(k0),由得(4k23)y26ky9k20,所以y1y2,y1y2,|F1F2|y1|F1F2|y2|F1F2|y1y2|F1F2|212,所以r3.令4k23t,则t3,r,因为t3,所以0,所以0r0,即k2,x1x2,x1x2,|x1x2|4,则SOABSOMBSOMA2|x1x2|4,设t4k210,S(t)444,当且仅当t,即t4,即4k214,即k时取等号,AOB面积的最大值为.子题2已知A(2,1),过点B(3,0)且斜率大于0的直线l与椭圆E:1相交于点P,Q,直线AP,AQ与x轴分别
3、相交于M,N两点,求|BM|BN|的取值范围解设直线l的方程为xmy3(m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y1(x2),可得M,即M,同理N.联立消去x,整理得(2m2)y26my30,由36m212(2m2)0,可得m21,y1y2,y1y2,所以|BM|BN|336666,因为m0,m21,所以m1,因此04,所以260,k,x1x2,x1x2,根据题意,得0POQ0,x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)42k40,解得2k0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则x1x24k,x1x28,|x1x2|4,yx,切线
4、l1的方程为yy1x1(xx1),即yx1xx,同理切线l2的方程为yx2xx,联立得x,yx1x22,即切线l1与l2的交点为P,由切线l1:yx1xx,得M,同理可得N,SPMN2|x1x2|2,又|AB|x1x2|4,点P到直线AB的距离为d,SPAB|AB|d4(k22),四边形ABNM的面积SSPABSPMN4(k22)22(2k23),令t,则S4t32t,当t时,S12t220成立,S单调递增,当t,即k0时,四边形ABNM面积的最小值为6.专题强化练1(2020潍坊模拟)设抛物线E:x22py(p0)的焦点为F,点A是E上一点,且线段AF的中点坐标为(1,1)(1)求抛物线E的
5、标准方程;(2)若B,C为抛物线E上的两个动点(异于点A),且BABC,求点C的横坐标的取值范围解(1)依题意得F,设A(x0,y0),由线段AF的中点坐标为(1,1),得即x02,y02,又点A是E上一点,所以42p,得p24p40,即p2.所以抛物线E的标准方程为x24y.(2)由题意知A(2,1),设B,C,则kBA(x12),x12,因为x12,所以kBC,BC所在直线方程为y(xx1)联立因为xx1,得(xx1)(x12)160,即x(x2)x12x160,因为(x2)24(2x16)0,即x24x600,故x10或x6.经检验,当x6时,不满足题意所以点C的横坐标的取值范围是(,6
6、)10,)2.如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线l:x4左侧的动点P作PHl于点H,HPF的角平分线交x轴于点M,且|PH|2|MF|,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点F作直线l交曲线C于A,B两点,设,若,求|AB|的取值范围解(1)设P(x,y),由题意可知|MF|PF|,所以,即,化简整理得1,即曲线C的方程为1.(2)由题意,得直线l的斜率k0,设直线l的方程为xmy1,由得(3m24)y26my90.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以(6m)236(3m24)144(m21)0恒成立,且y1y2,y1y2,又因为,所以y1y2,联立,消去y1,y2,得,因为2,所以0,解得0m2.又|AB|y1y2|4,因为43m24,所以|AB|4.所以|AB|的取值范围是.