1、3.3.2 抛物线的简单几何性质 教学设计本小节内容选自普通高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）第三章圆锥曲线的方程的第三节抛物线。以下是本节的课时安排：第三章 圆锥曲线的方程课时内容3.3.1抛物线及其标准方程3.3.2抛物线的简单几何性质所在位置教材第130页教材第134页新教材内容分析教材在用直尺画抛物线的过程中，体会抛物线的定义，感知抛物线的形状，为选择适当的坐标系，建立抛物线的标准方程、研究抛物线的几何性质做好铺垫。通过对抛物线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的p的几何意义，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。核
2、心素养培养通过抛物线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对抛物线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。通过抛物线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与抛物线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。教学主线抛物线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养2.能利用性质解决与抛物线有关的问题3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.重点：抛物线的标准方程及其推导过程 难点：求
3、抛物线标准方程（一）新知导入 已知抛物线y28x，其轨迹如图所示(1)观察抛物线y28x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？(2)观察抛物线y28x的轨迹有什么对称性？【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x0，纵坐标yR.(2)关于x轴对称（二）抛物线的几何性质知识点一 抛物线的几何性质抛物线的几何性质标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形开口方向向右向左向上向下范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1【点睛】1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比
4、、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右
5、端取负号.【做一做1】(教材P134例3改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，2 )，则抛物线的标准方程是()Ay26xBx24yCx26y Dx26y解析：由题意，设抛物线方程为x22py(p0)因为点P在抛物线上，所以124p，解得p3.抛物线的标准方程为x26y.答案：C知识点二 抛物线的焦点弦长【探究2】斜率为k的直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能想到哪些求弦长|AB|的方法？【提示】法一：利用两点间的距离公式；法二：利用弦长公式|AB|x1x2|；法三：|AB|AF|BF|x1x2x1x2p.焦点
6、弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p.【做一做2】过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A10 B8C6 D4解析：|AB|x1x2p628.答案：B（三）典型例题1.利用抛物线的几何性质求标准方程例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程分析因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，
7、可知交点纵坐标为.解析如图，设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.2.已知A、B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程解析抛物线的焦点F抛物线关于x轴对称，|OA|OB|，ABO为等腰三角形A、B两点关于x轴对称设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，ABO的垂心恰为抛物线的焦点，BFOA.则kBFkOA1，即1.又y2px0
8、，x0p.直线AB的方程为x.2.直线与抛物线的位置关系例2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C与直线yx4相交于不同的两点A、B，求证：OAOB.分析(1)可转化为点P到准线的距离(2)OAOB0，即x1x2y1y20.解析(1)解：由题意设抛物线方程为y22px(p0)，其准线方程为x，P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，45，p2，抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由消去y，得x212x160，0，直线yx4与抛物线相交于不同两点A、B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
9、x1x212，x1x216，x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.【类题通法】将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解【巩固练习2】1.(多选题)过点(2,1)作直线l，与抛物线y24x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足条件的是()Ay1 Bx2y0Cxy10 Dx2y40解析：由题意知直线l的斜率存在，设其方程
10、为y1k(x2)，由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0.当k0时，由方程得y1，把y1代入y24x，得x，这时，直线l与抛物线只有一个公共点，此时直线l的方程为y1.当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)当0时，即2k2k10，解得k1或k，方程只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点此时直线l的方程为y11(x2)或y1(x2)即xy10或x2y40.答案：ACD2.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程解析(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，1，p
11、2，所求抛物线方程为y24x.(2)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1， y4x2，且x1x24，y1y22，由得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，2，所以所求直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.法二：显然AB不垂直于x轴，故可设弦AB所在的直线方程为y1k(x2)，k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x整理得ky24y8k40，y1y2，又M点是AB的中点，y1y22，k2，故直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.3.抛物线的焦点弦例3.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，
12、试求抛物线的方程解析 如图，依题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由，消去y得x23px0，x1x23p，将其代入得p2，所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为y24x.抛物线方程为y24x或y24x.【类题通法】1过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦2对于抛物线的焦点弦，利用抛物线的定义，结合平面几何知识可以得出抛物线
13、焦点弦的许多性质，应用起来非常方便如图，已知线段AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点，过A，B两点分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为点C，D，点M为线段AB的中点，点M为线段CD的中点(1)几何性质以过焦点F的弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点M，AMB90；以线段CD为直径的圆与弦AB相切于点F，CFD90；通径(过抛物线的焦点且与轴垂直的弦)是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦(2)代数性质y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)；(定值)【巩固练习3】如图，斜率为的直线l经过抛物线y22px的焦点F
14、(1,0)，且与抛物线相交于A、B两点(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB的长解析(1)由焦点F(1,0)，得1，解得p2.所以抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线l的方程为y(x1)与抛物线方程联立，得，消去y，整理得4x217x40，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p2.所以，线段AB的长为.（四）操作演练 素养提升1.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2xBy23xCy26x Dy26x2边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()Ay2x By2xCy2
15、x Dy2x3过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2 B2C2 D24设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.答案：1.C 2.C 3.B 4. 8【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第136页 练习 第1，2，3,4题第138页 练习 第1，2，3,4,5题 第138 页 习题3.3 第5,6,7,8,9,10,11,12题
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