1、第1讲平面向量考情分析1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度考点一平面向量的线性运算核心提炼1平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果2在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算
2、，在计算时可以进行类比例1(1)如图所示，AD是ABC的中线，O是AD的中点，若，其中，R，则的值为()AB.CD.答案A解析由题意知，()()，则，故.(2)已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0.若ab，则_.答案2解析ab，m(1)2n，2.(3)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若(R，R)，则的取值范围是_答案(1，)解析由题意可得，kkk(0k1，即的取值范围是(1，)易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化跟踪演练1(1)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，
3、BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若(，R)，则_.答案解析由题意可设x(0x1)，则x()xx.因为，与不共线，所以，x，所以.(2)如图，在扇形OAB中，AOB，C为弧AB上的一个动点，若xy，则x3y的取值范围是_答案1,3解析设扇形的半径为1，以OB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A，C(cos，sin).则(cos，sin)xy(1,0)，即解得x，ycos，故x3y3cossin3cossin，0.令g()3cossin，易知g()3cossin在上单调递减，故当0时，g()取得最大值为3，当时，g()取得最小值为1，故x3y的取值范围为
4、1,3考点二平面向量的数量积核心提炼1若a(x，y)，则|a|.2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos.例2(1)(2020全国)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab等于()ABC.D.答案D解析|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cosa，ab.(2)已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，则的值为()A3B4C3D4答案C解析如图，连接CO，点C是弧AB的中点，COAB，又OAOB2，AOB，()()22243.(3)已知在直角梯形ABCD中，ABA
5、D2CD2，ADC90，若点M在线段AC上，则|的取值范围为_答案解析以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设(01)，则M(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，|，01，当0时，|取得最大值为2，当时，|取得最小值为，|.易错提醒两个向量的夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线跟踪演练2(1)(2019全国)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则
6、a与b的夹角为()A.B.C.D.答案B解析方法一设a与b的夹角为，因为(ab)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以2|b|2cos|b|20，即cos，又0，所以，故选B.方法二如图，令a，b，则ab.因为(ab)b，所以OBA，又|a|2|b|，所以AOB，即a与b的夹角为，故选B.(2)(2020新高考全国)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A(2,6) B(6,2)C(2,4) D(4,6)答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(1，)设P(x，y)，则(
7、x，y)，(2,0)，且1x3.所以(x，y)(2,0)2x(2,6)(3)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且，则()()的最大值是()A1B1C.1D1答案A解析如图，作出，使得.则()()21()1，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为，此时()()取得最大值，最大值为1.故选A.专题强化练一、单项选择题1已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则等于()AB.C.D.答案A解析由题意可知，.2(2020广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳
8、膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2，1.732)()A63B69C75D81答案B解析设该学生的体重为m，重力为G，两臂的合力为F，则|G|F|，由余弦定理得|F|2400240022400400cos34002，|F|400，|G|mg400，m4069kg.3已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(，1)，若c(2ab)，则等于()A2B1CD.答案A解析a(1,2)，b(2，2)，2ab(4,2)，又c(，1)，c(2ab)，240，解得2，故选A.4(2020潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P(，1)，将向量
9、绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是()A(，1) B(1，) C(，1) D(1，)答案D解析由P(，1)，得P，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，Q，又cossin，sincos，Q(1，)5(2020泰安模拟)如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn等于()A0B1C2D3答案C解析如图，连接AO，由O为BC的中点可得，()，M，O，N三点共线，1.mn2.6在同一平面中，2.若mn(m，nR)，则mn等于()A.B.C.D1答案A解析由题意得，故()，所以m，n，故mn.7若P为ABC所在平面内一点，且|
10、2|，则ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案C解析|2|，|()()|，即|，两边平方整理得，0，ABC为直角三角形故选C.8已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为()A2B3C4D5答案D解析设ABC的外接圆的圆心为O，则圆的半径为，0，故24.又2518512475，故5，当，同向共线时取最大值9如图，圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，xy(x，yR)，则2xy的最大值为()A.B.C2D2答案C解析方法一如图，连接DA，以D点为原点，BC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立
11、如图所示的平面直角坐标系设内切圆的半径为r，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得lABCrABACsin60(lABC为ABC的周长)，解得r1.易得B(，0)，C(，0)，A(0,3)，D(0,0)，设M(cos，1sin)，0,2)，则(cos，1sin)，(，3)，(，0)，故(cos，1sin)(xy,3x)，故则所以2xysin2.当时等号成立故2xy的最大值为2.方法二因为xy，所以|23(4x22xyy2)3(2xy)22xy由题意知，x0，y0，|的最大值为3，又2xy，即2xy，所以3(2xy)29，得2xy2，当且仅当2xy1时取等号二、多项选择题10(2020长
12、沙模拟)已知a，b是单位向量，且ab(1，1)，则()A|ab|2Ba与b垂直Ca与ab的夹角为D|ab|1答案BC解析|ab|，故A错误；因为a，b是单位向量，所以|a|2|b|22ab112ab2，得ab0，a与b垂直，故B正确；|ab|2a2b22ab2，|ab|，故D错误；cosa，ab，所以a与ab的夹角为，故C正确11设向量a(k,2)，b(1，1)，则下列叙述错误的是()A若k2，则a与b的夹角为钝角B|a|的最小值为2C与b共线的单位向量只有一个为D若|a|2|b|，则k2或2答案CD解析对于A选项，若a与b的夹角为钝角，则ab0且a与b不共线，则k20且k2，解得k2且k2，
13、A选项正确；对于B选项，|a|2，当且仅当k0时等号成立，B选项正确；对于C选项，|b|，与b共线的单位向量为，即与b共线的单位向量为或，C选项错误；对于D选项，|a|2|b|2，2，解得k2，D选项错误12已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且，2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是()A.1B.0C|D.在方向上的投影为答案BCD解析因为，ABC是等边三角形，所以CEAB，所以0，选项A错误；以E为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，D，设O(0，y)，y(0，)，则
14、(1，y)，又，所以yy，解得y，即O是CE的中点，0，所以选项B正确；|2|，所以选项C正确；，(1，)，在方向上的投影为，所以选项D正确三、填空题13(2020全国)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_.答案解析由题意知(kab)a0，即ka2ba0.因为a，b为单位向量，且夹角为45，所以k12110，解得k.14在ABC中，AB1，ABC60，1，若O是ABC的重心，则_.答案5解析如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系AB1，ABC60，A.设C(a,0)1，1，解得a4.O是ABC的重心，延长BO交AC于点D，.5.15(2020石家庄模
15、拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC的外接圆的圆心，A，且，则的最大值为_答案解析ABC是锐角三角形，O在ABC的内部，01,01.由()()，得(1)，两边平方后得，(1)22()222222，A，BOC，又|.(1)222，132()，01,01，134，设t，3t24t10，解得t1(舍)或t，即，的最大值是.16(2020浙江)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1e2|，设ae1e2，b3e1e2，向量a，b的夹角为，则cos2的最小值是_答案解析设e1(1,0)，e2(x，y)，则a(x1，y)，b(x3，y)由2e1e2(2x，y)，故|2e1e2|，得(x2)2y22.又有x2y21，得(x2)21x22，化简，得4x3，即x，因此x1.cos2222，