1、方程理论及应用一 一元一次同余方程1 形式：不能整除 （1）2 讨论 的解分析：1） 设是模m的完系，因为，所以也是模m的完系。因此，其中必有且只有一个树与零同余，即，即（1）有唯一解。 由（1）得：，由欧拉定理知：，所以2）1 设（1）有解，则db；反过来，设db，因为，所以（2）有解，所以（1）有解。所以，（1）和（2）是等价的。下面求（2）的解即可。但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。 设（2） 的唯一解为：，则所以形如（t为任意整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m不同余的
2、数就是（1）的所有解。因为当（3）时，有，所以；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是因此，在所有形如的数中只要t取关于模d不同余的数，所得到的数就关于模m不同余，所以就是（1）的所有解。 定理1 一元一次同余方程中， 当，有唯一解，1，有解db， 其中是的唯一解。定理2 （中国剩余定理）设两两互质，则同余方程组 （4）对于模有唯一解：其中：，二 二元一次不定方程。1 形式：2定理：有解c三例题讲解。例1 解同余式。 1） 2） 3） 4）例2 解同余方程组。 1） 2） 3）例3 求出最小的正整数，它的一半是整数的平方，它的是整数的三次方，它的是整数的五次方。例4 解二元一次不定方程。 1）
3、 2）求：的整数解高斯函数一 定义。叫高斯函数，定义域为R，y是不超过x的最大整数。注：1） 2）二 性质。1） 定义：为x的小数部分，所以2） 是不减函数，当时，3） 中整数部分可以外拿，4） 有5） 若则6） 在中，m的倍数有个三 应用技巧。1） 充分利用的定义，根据定义，任意实数，而01，于是，将关于任意实数x的问题，归结到讨论区间（0，1）上的关于的问题。2） 有意识的利用的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质是直接由定义派生出来的，可以说是函数的本质属性的推论。3） 充分利用典型区间，设m=，p=，则x=m+p，其中0p1，于是，问题归纳到在0，1上讨论。为此需要对区间（0，1）进行划分，分段讨论，又常分成几个相等的小段：，于是问题的讨论只要在典型区间上进行即可。四 例题讲解例1 任何实数x，y，求证：例2 求：例3 设r是实数且满足条件：求：（第9届美国数学邀请赛AIME试题）例4 在数列=中每个奇数k出现k次，设有整数p,q,r存在，对所有正整数n，满足，其中表示不大于x的最大整数， 求：的值。（数学通讯问题征解题）
