3.3 指数运算及指数函数（精讲）（学生版）.docx

1、3.3 指数运算及指数函数（精讲）一.根式1.如果xna，那么叫做a的n次方根；2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；3.()n当n为奇数时，；当n为偶数时，|a|二.分数指数幂的意义1.分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2.实数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sR)(ar)sars(a0，r，sR)(ab)rarbr(a0，b0，rR)三指数函数的概念、图象与性质1指数函数的概念函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义

2、域是R，a是底数易错点：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2指数函数yax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.三指数函数的图象与底数大小的比较1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此可得到以下规律：在第一象限内，

3、指数函数yax(a0，且a1)的图象越高，底数越大2.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断 3.比较指数式的大小的方法是(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同

4、底数的，一般引入“1”等中间量比较大小4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化考法一 指数幂运算【例1】（2023贵州）化简求值（1） （2）(3)；(4) （5）已知：，求的值【一隅三反】1.（2023安徽）计算或化简下列各式：(1)； (2)(3)；(4)已知，求下列各式的值：；2（2023云南）解下列方程：(1)； (2)； (3)；(4)考法二 指数函数的三要素及定点【例2-1】（2023广东）函数；中，是指数函数的是_【例2-2】（2023广东湛江）函数的定义域为_【例2-3】（2023上海奉贤）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=_【例2-4】（1）（2023

5、春湖北咸宁）当时，函数的值域是（ ）A BCD（2）（2023辽宁丹东）函数的值域为（）ABCD【例2-5】（1）（2023云南）函数恒过定点 （2）（2023全国高三专题练习）函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_.【一隅三反】1（2023春山东滨州）函数的定义域为 2（2023上海）已知函数是指数函数，求实数a的值 3（2023江西）下列函数中，属于指数函数的是_（填序号）；（a为常数，）；4（2023春北京顺义）函数的定义域为_5（2023全国高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，求函数的解析式 .6（2023宁夏银川校联考二模）已知函数，则其值域为_7

6、（2023春上海嘉定）已知函数的值域为，则实数的取值范围是_.8.（2023北京）函数且的图象恒过某定点，则此定点为 考法三 指数函数的单调性及综合运用【例3-1】（2023春河南周口）函数的单调递增区间为_.【例3-2】（2023湖北）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（）ABCD【例3-3】（1）（2023春上海嘉定）不等式的解集为_（2） （2022海南校联考模拟预测）不等式的解集为 【例3-4】（2023全国高三专题练习）设，则（）ABCD【一隅三反】1.（2023新疆）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_.2.（2022天津）求函数的单调区间 .3（2023河北）

7、已知函数，则不等式的解集是 4（2023全国高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是 5（2023全国高三专题练习）已知， ，则、的大小关系为_6.（2023江苏宿迁）若，且满足，那么（）ABCD考法四 指数函数的奇偶性【例4-1】（2023全国高三专题练习）若函数为奇函数，则_【例4-2】2023全国高三专题练习）已知函数为偶函数，则（）A-1B-2C2D1【例4-3】（2023四川绵阳统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（）ABCD【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）若为奇函数，则实数_.2（2023山东潍坊统考二模）已知函数，则（）A是奇

8、函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数3（2023辽宁鞍山校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，则（）A4B2C1D04（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）ABCD考法五 指数函数的图像【例5-1】（2023春内蒙古赤峰）若的图像如图，（，是常数），则（）A，B，C，D，【例5-2】（2023北京人大附中校考三模）已知函数，则大致图象如图的函数可能是（）ABCD【一隅三反】1（2023云南）函数的图像大致为（）ABCD2（2023春江苏南京）已知函数的图象如图所示，则可以

9、为（）ABCD3（2023全国高三专题练习）函数 的图象大致是（）ABCD4（2023全国高三专题练习）函数的图象大致是（）ABCD考法六 指数函数的综合运用【例6-1】（2023贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数如果在前消除了的污染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（）ABCD【例6-2】（2023春湖北襄阳）已知函数，则的图象（）A关于直线对称B关于点对称C关于直线对称D关于原点对称【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）已知函数为偶函数，则函数的值域为_.2（2023全国高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是_.3（2023云南昆明高三昆明一中校考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_.