1、3.3 幂函数【学习目标】课程标准学科素养1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).1、数学模型2、数学运算3、直观想象【自主学习】1. 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.2. 幂函数的图象幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.幂函数的性质幂函数yxyx2yx3yxyx1定义域值域奇偶性单调性x0，)， x(，0， x(0，)， x
2、(，0)， 公共点都经过点 (1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，则幂函数在0，)上有意义，且是增函数.(3)如果0，则幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.【小试牛刀】1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx0(x0)是幂函数()(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)()(3)幂函数的图象都不过第二、四象限()(4)当0时，yx是增函数()2.设函数f(x)x，则f(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数3. 3.173与3.713的大小关系为_.【经典例题】题
3、型一幂函数的概念注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1 (1)在函数y，yx2，y2x，y1，y2x2，yx中，是幂函数的是()ABCD(2)若f(x)(m24m4)xm是幂函数，则m_.跟踪训练 1若幂函数f(x)满足f(9)3，则f(100)_.题型二幂函数的图象及性质注意：解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在x(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在x(1，)上，指数越大，幂函数图象越远
4、离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断.例2 已知幂函数f(x)x的图象过点P，（1） 画出f(x)的图象。（2） 指出该函数的定义域与单调区间（3） 判断奇偶性。跟踪训练 2 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A.2，2 B.2，2C.，2，2， D.2，2，（2）如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1 Bn1,0m1C1n1 Dn1题型三利用幂函数的性质比较大小比较幂值大小的方法：
5、(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小例3比较下列各组数中两个数的大小：(1)与； （2）与跟踪训练 3 比较下列各组数中两个数的大小(1)与； （2）与0.3例4 注意：构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小跟踪训练 4 已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_【当堂达标】1下列函数是幂函数的是()Ay5xByx5Cy5xDy(x1)32.已知幂函数yf(x)的图
6、象经过点，则f(2)()A. B.4 C. D.3设a20.3，b30.2，c70.1，则a，b，c的大小关系为()AcabBacbCabcDcba4.函数yx的图象是()5已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f_.6.比较下列各组数的大小：(1)8与； (2)与.7已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上是减函数，求f(x)的解析式【参考答案】【自主学习】yx 幂函数yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)，增x(，0，减增增x(0，)，减x(，0)，减公共点都经过
7、点(1，1)【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)2. A f(x)的定义域为R，又f(x)f(x)，故f(x)是奇函数.3. f(x)x3在(0，)上是减函数，又3.17f(3.71)，即3.1733.713.【经典例题】例1 (1) C 幂函数是形如yx(为常数)的函数，是1的情形，是2的情形，是的情形，所以都是幂函数；是指数函数，不是幂函数；中x2的系数是2，所以不是幂函数；是常函数，不是幂函数所以只有是幂函数故选C.(2)5或1因为f(x)是幂函数，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.跟踪训练110 解析设f(x)x，由f(9)3，得93，f(x)x，f(100)100
8、10.例2 解由f(2)，得2，解得2，所以f(x)x2.（1）f(x)的图象如图所示，（2）定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0)(3)由f(x)(x)2x2f(x)，得f(x)是偶函数跟踪训练 2 (1) B解析根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n；当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n，曲线C4的n2，故选B.(2) B 解析 在(0,1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，n，所以.（2）因为30.3，而yx0.3在(0，)上是单调递增的，又3，
9、所以30.3，即.跟踪训练 3 解 (1)因为幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又.（2）因为y1在(0，)上为减函数，又0.3，又因为函数y2x在(0，)上为增函数，且0.3，所以0.3，所以0.3.例4 解因为yx在定义域0，)上是增函数，所以解得1m0)，易知f(x)在(0，)上为减函数，又f(a1)f(102a)，解得3a5.【当堂达标】1. B 解析函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2. C 解析设幂函数为yx，幂函数的图象经过点，4，yx，f(2)2，故选C。3. A 解析a20.380.1，b30.290.1，c70.1，由幂函数yx0.1在(0，)上单调递增，可知cab.B 4. 解析显然函数定义域为R，且满足“f(x)f(x)”，说明函数是奇函数.又由当0xx，当x1时，x，则.从而8，所以.7. 解 幂函数yx3m9在(0，)上是减函数，3m90，即m3.又mN*，m1,2.又y33m9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，3m9是偶数m1.f(x)x6.
