1、3.2.2 奇偶性第2课时 奇偶性的应用【学习目标】课程标准学科素养1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小；3.能运用函数的单调性和奇偶性解不等式。1、数学抽象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】奇函数、偶函数的性质1.若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0) .2.若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 3.若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 【经典例题】题型一利用奇偶性求解析式角度1：已知区间a，b上的解析式，求b，a上的解析式(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式
2、，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数,未必有f(0)0.例1 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x2x，求当x0时，f(x)2x23x1，求：(1)f(0)；(2)当x f Bf f Cf f Df f 题型三 函数的奇偶性和单调性解不等式点拨： 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)f(b)0，先将f(a)f(b)0变形为f(a)f(b)f(b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特
3、别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)f(|x|)f(|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.例4 已知函数yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围。【跟踪训练】4 定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)1时，f(x)0，且f(2)1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值；(4)求不等式f(3x2)
4、4的解集【跟踪训练】5定义在R上的函数f(x)，满足对x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在0，)上是增函数，试求实数x的取值范围【当堂达标】1.（多选）若奇函数f(x)在1,3上为增函数，且有最小值0，则它在3，1上()A是减函数 B是增函数 C有最大值0 D有最小值02.已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式4.设f(x)在R上是偶函数，在(，0)上递减，若f(a22a3)f(a2a1)，求实数a的取值范围5.已知奇函数f(x)在R上是
5、减函数，且f(3a10)f(42a)0，求a的取值范围6.函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.【课堂小结】一题型：1.利用奇偶性，求函数的解析式；2.利用奇偶性和单调性比较大小；3.利用奇偶性和单调性比较大小解不等式二具有奇偶性的函数的单调性的特点：1.奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性2.偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性三数学思想：数形结合利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养【参考答案
6、】【自主学习】0 一致 相反【经典例题】例1 解： 设x0.f(x)(x)2xx2x.又f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)f(x)x2x，当x0时，f(x)x2x.【跟踪训练】1 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)f(0)，即f(0)0.(2)当x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1，xf(3)f(2) 解析：f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上递增，而23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2).【跟踪训练】3 C 解析：因为a22a(a1)2，
7、又f(x)为偶函数，且在0，)上是减函数，所以f f f .例4 解：(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1,1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1,1上单调递减，解得0a1.a的取值范围是0,1)【跟踪训练】4 解：函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m.实数m的取值范围是.例5 解：(1)令xy1，则f(11)f(1)f(1)，得f(1)0；再令xy1，则f(1)(1)f(1)f(1)，得f(1)0.对于条件f(xy)f(x)f(y)，令y1，则f(x
8、)f(x)f(1)，f(x)f(x)又函数f(x)的定义域关于原点对称，函数f(x)为偶函数(2)任取x1，x2(0，)，且x11.又当x1时，f(x)0，f0.而f(x2)ff(x1)ff(x1)，函数f(x)在(0，)上是增函数(3)f(4)f(22)f(2)f(2)，又f(2)1，f(4)2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间4,0)(0,4上是偶函数，且在(0,4上是增函数，函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值为f(4)f(4)2.(4)422f(4)f(4)f(16)，原不等式转化为f(3x2)f(16)又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，)上是增函数，原不等式又
9、转化为|3x2|16，即3x216或3x216，不等式f(3x2)4的解集为x.【跟踪训练】5 解：(1)令x1x20，得f(0)0，令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)因为f(4)1，所以f(8)f(4)f(4)2，所以原不等式化为f(x1)f(8)又因为f(x)在0，)上是增函数，f(0)0且f(x)是奇函数，所以f(x)在(，)上是增函数，因此x18，所以x9，所以实数x的取值范围是(，9)【当堂达标】1.BC 解析：由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，
10、故选BC.2.A解析：f(x)为偶函数，f(x)f(|x|)则f(|2x1|)f.又f(x)在0，)上单调递增，|2x1|，解得x.3.解：设x0，f(x)(x)3x1x3x1.又f(x)是奇函数，则f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3x1.x0，a2a120，且f(a22a3)f(a2a1)，所以a22a3a2a1，解得a.综上，实数a的取值范围是.5.解：f(3a10)f(42a)0，f(3a10)f(42a)，f(x)为奇函数，f(42a)f(2a4)，f(3a10)2a4，a6.故a的取值范围为(6，)6.(1)解f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，f(x)f(x)，即.bb，b0.f，a1.函数解析式为f(x) (1x1)(2)证明任取x1，x2(1,1)，且x1x2，f(x1)f(x2)，1x1x21，x1x20，(1x)(1x)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)为(1,1)上为增函数(3)解f(t1)f(t)0，f(t1)f(t)f(x)是(1,1)上的奇函数，f(t)f(t)，f(t1)f(t)f(x)为(1,1)上的增函数，解得0t.不等式的解集为.
