1、3.2.1双曲线及其标准方程 （基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的定义1定义平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线定义的集合表示设点是双曲线上任意一点，则双曲线就是集合对于双曲线的定义，有以下理解:在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形:(1)若点满足(0)，则点在双曲线的左支上，如图(2)若点满足(0)，则点在双曲线的右支上，如图拓展(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，
2、动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线；(2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在；(3)特别地，当2=0时，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线知识点二 双曲线的标准方程1焦点在轴上的双曲线的标准方程为(0，0)，焦点分别是，焦点在轴上的双曲线的标准方程为(0，0)，焦点分别是，2，三者的关系为在双曲线的标准方程中，因为，三个量满足，所以长度分别为，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示提示(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件(2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标
3、准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上(3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式(4)双曲线的标准方程的特征是(数与数异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法椭圆与双曲线的比较如下表：椭圆双曲线定义与的关系的关系标准方程或或图象焦点在轴上封闭型焦点在轴上开放型知识点三 求双曲线方程的方法方法内容已知条件或适合题型定义法通过对条件的分析，根据定义确定轨迹是双曲线，求出并写出方程已知的值或动点满足待定系数法由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数已知双曲线上
4、某点的坐标或焦点坐标或焦距相关点法确定动点满足的等量关系，列出方程；建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程已知动点满足某种规律；已知动点与已知曲线上的动点之间的关系直译法根据题意，直接翻译条件，建立之间的关系，构造的关系式，化简即可这是一种求点的轨迹最基本的方法，一般题目都适用拓展(1)在根据双曲线的定义求标准方程时，要注意动点是满足，还是满足，以便确定是双曲线的两支还是其中一支(2)在运用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先确定焦点在哪条坐标轴上，若不能确定，则两种形式都讨论(3)若已知双曲线上的两点坐标，则通常设方程为，这种设法比设方程为计算更简便，也避免了讨论双曲线的焦点位置考
5、点一 双曲线定义的应用例1 已知双曲线的方程是，点在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点是的中点，求的大小(为坐标原点).解：因为是的中位线所以，因为，所以或，故或解双曲线上一点到焦点的距离问题要联想定义，并注意与椭圆的定义加以区别，不能混淆例2 如图，已知双曲线的方程为，点均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，为双曲线的左焦点，则的周长为( ) A B C D解析：由双曲线的定义，知，又因为，所以的周长为答案：B应用双曲线定义解题时要根据具体问题，灵活处理绝对值符号，如本例借助双曲线图象直接省略绝对值符号，简化了后面的计算例3 如图23-4，已知动圆与圆:外切，与圆内切，求动圆圆
6、心的轨迹方程 分析：利用两圆内切，外切的充要条件找出点所满足的几何关系式，同时结合双曲线定义求解解：设动圆的半径为，由已知，得，所以，又因为，所以，所以，根据双曲线的定义，知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支因为，所以所以动圆圆心的轨迹方程为(1)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保所求轨迹的纯粹性和完备性(2)求曲线的轨迹方程时，应尽量先利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用待定系数法求出曲线的轨迹方程，这样可以减少运算量考点二 双曲线的标准方程的应用例4 求满足下列条件的参数的值或取值范围(1)已知，当
7、为何值时，方程表示双曲线；表示焦点在轴上的双曲线；表示焦点在轴上的双曲线；(2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值；(3)椭圆与双曲线有相同的焦点，求的值解：(1)若方程表示双曲线，则须满足或解得或；若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足解得；若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足解得(2)若焦点在轴上，则方程可化为，所以，即；若焦点在轴上，则方程可化为，所以，即综上所述，的值为或(3)由双曲线方程，知焦点在轴上，且由椭圆方程，知，所以，即，解得或(舍去)因此的值为1在解题时，首先要确定焦点位置，根据相应的标准方程确定的值，然后求解有时要注意对焦点在轴，轴上分类讨论，不要漏解考点三 双曲线中的
8、焦点三角形问题例5 已知双曲线上有一点，是双曲线的焦点，且，则的面积为_解析:由题意，得因为所以所以答案：在解焦点三角形的有关问题时，一般利用两个关系式:(1)由双曲线的定义，得，的关系式(2)利用正弦定理，余弦定理，得，的关系式，求出，的关系式，但是，一般我们不直接求解出，而是根据需要，把，看做一个整体来处理例6 已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标解：由双曲线的方程，知不妨设点在第一象限，坐标为，为左焦点，为右焦点，则由，得所以，所以，在中，所以，代入双曲线的方程，得即点的坐标是再根据双曲线的对称性，得点坐标还可以是，解答本题除了应用双曲线的定义，还应用了数学思想方法中的整
9、体思想:不是求具体的未知数，而是求整体的值考点四 双曲线的实际应用题例7 某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图23-5所示的处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路运送到矩形灾民区中去，已知，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程 分析：审题可得界线是使沿道路和送药一样远近的曲线，设为界线上任一点，则根据已知条件，得，据此设出双曲线的标准方程，用待定系数法求解即可解析：灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样长依题意，知界线是第三类点的轨迹设为界线上任一点，则，即(定值)因为所以界线是以为焦点的双曲线的右支的一部分如图23-6所示，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系设所求双曲线的标准方程为因为，所以故双曲线的标准方程为注意到点的坐标为，故的最大值为60，此时故界线的曲线方程为解决应用问题时，应由题干抽象出数学问题即数学模型，先解决数学问题，再回归到实际应用中本题由题意能得到所求界线是以为焦点的双曲线，但由于，故所求界线为双曲线的右支由于没有坐标系，因此需先建立坐标系，并确定方程的形式，再用待定系数法求方程此题极易忽略和的取值范围因此在实际问题中，要注意由实际意义确定变量的取值范围
