1、 3.2.1 双曲线及其标准方程 知识储备1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.2双曲线的标准方程标准方程 (a0，b0) (a0，b0)图形典例剖析1(2020绵阳联考)已知双曲线C：(a0，b0)的渐近线方程为yx，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，c2a2b225，所以a4，b3，所以所求双曲线的标准方程为.2与椭
2、圆y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是()A. y21B. y21C. 1Dx21【答案】B【解析】法一：椭圆y21的焦点坐标是(，0)设双曲线标准方程为 (a0，b0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线标准方程是y21.法二：设所求双曲线标准方程为 (14)，将点P(2,1)的坐标代入可得，解得2(2舍去)，所以所求双曲线标准方程为y21.3过双曲线C： (ab0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()A. B. C. D.
3、【答案】A【解析】因为渐近线yx与直线xa交于点A(a，b)，c4且4，解得a24，b212，因此双曲线的标准方程为.4经过点P(3,2)，Q(6，7)的双曲线的标准方程为_【答案】【解析】设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为.5焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线x21有相同渐近线的双曲线的标准方程是_【答案】【解析】设所求双曲线的标准方程为x2(0)，即，则有425，解得5，所以所求双曲线的标准方程为. 名师微点求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b
4、，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值提醒求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0)求解(如第4题) 典例精析(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.(3)已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF
5、|PA|的最小值为_【解析】(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|3126.这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x21(x1)(2)由双曲线的定义有|PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，则cosF1PF2 .(3)因为
6、F是双曲线的左焦点，所以F(4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|PA|2a|PH|PA|2a|AH|4459. 解题技法双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值；2a|F1F2|；焦点所在坐标轴的位置能力检测姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1（2020河南高二月
7、考（文）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题知：，解得或.故选：B2（2020淮安市阳光学校高二月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得，解得故选：A3（2020淮安市阳光学校高二月考）已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线左右焦点，若，则（ ）A2B3C5D6【答案】D【解析】由得，所以，因为点P为双曲线右支上一点，所以，所以.故选：D4（2020全国高三专题练习）如图，从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，因为O为，M为PF
8、的中点，所以MO为的中位线，可得|MO|=.又，.故选：A5（2020云南昆明市昆明一中高三月考（理）在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则（ ）ABCD【答案】D【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；又因为，所以由正弦定理得，故选：D.6（2020江西东湖区南昌十中高二期中（文）已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）A9B8C7D6【答案】A【解析】F是双曲线的下焦点，c4，F（0，4），上焦点为（0，4），由双曲线的定义可得，当A，P，H三点共线时，取得最小值9故选：A7（2020黑龙江高二学业考试（文）无
9、论为何值，方程所表示的曲线不可能为（ ）A双曲线B抛物线C椭圆D圆【答案】B【解析】因为， 所以当，即，时，方程化为，表示两条直线；当时，方程化为表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为表示圆；当时，方程化为表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为表示焦点在轴上的双曲线.故选：B8（2020全国高三专题练习（文）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）A一个椭圆上B双曲线的一支上C一条抛物线D一个圆上【答案】B【解析】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为 ，半径为1；圆,即的圆心为，半径为2.依题意得， ，则所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B二、多选题9（2020湖北高二期中）已知曲线，下列说法正确的
10、是（ ）A若，则为双曲线B若且，则为焦点在轴的椭圆C若，则不可能表示圆D若，则为两条直线【答案】ABD【解析】若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确； 若且，可得，所以为焦点在轴上的椭圆，所以正确；若，是单位圆，所以不正确；若，则化为，表示两条直线，所以正确；故选：10（2020全国高三专题练习（文）下列判断正确的是（ ）A抛物线与直线仅有一个公共点B双曲线与直线仅有一个公共点C若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则D若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t4【答案】BD【解析】对于A，抛物线与直线方程，联立方程，消去，可得，所以抛物线与直线有两个个公共点，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，
11、直线与渐近线平行，故双曲线与直线仅有一个公共点，故B正确；对于C，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确故选：BD11（2020武汉外国语学校高二期中）若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（ ）A曲线C可以表示圆B若曲线C是椭圆，则C曲线C不可能表示直线D若，则C为双曲线【答案】ACD【解析】当时，方程，化为，表示圆，所以正确；曲线是椭圆，则，解得，所以不正确；由，所以曲线不可能表示直线，所以正确；若，则，为双曲线，所以正确；故选：ACD12（2020江苏盐城市）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）A椭圆上一点到右
12、焦点的距离的最小值为2；B若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线；C方程表示的曲线是双曲线的右支；D若椭圆的离心率为，则实数.【答案】ABC【解析对于，椭圆的长半轴长，半焦距，椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为，故正确；对于，若动圆过点且与直线相切，则圆心到的距离等于到直线的距离，则圆心的轨迹是抛物线，故正确；对于，方程的几何意义是平面内动点到两个定点，距离差等于6的点的轨迹，表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故正确；对于，椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，则，则，解得，故错误故选：三、填空题13（2020南昌县莲塘第二中学高二期中（理）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则
13、的最小值为_【答案】【解析】对于双曲线，则，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，当且仅当、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.14（2020广东中山市小榄中学高二月考）已知点F1(，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是_.【答案】【解析】，点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，又，曲线方程是故答案为：15（2020安徽相山区淮北一中高二期中）已知，在中，则顶点的轨迹方程为_.【答案】，【解析】因为，所以，设顶点，由，根据正弦定理可得，即，由双曲线的定义，可得点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的双曲线的
14、右支，且点不在轴上，所以，则，因此顶点的轨迹方程为，.故答案为：，.16（2020全国高二课时练习）双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为_.【答案】【解析】设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，即，设点，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：四、解答题17（2020江苏海陵区泰州中学高二期中）已知集合，集合方程表示圆锥曲线C（1）若圆锥曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，求实数a的取值范围；（2）若圆锥曲线C表示双曲线，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由方程表示的曲线是表示焦点在x轴上的椭圆，解不等式可得方程表示的曲线是双曲线，或因为A是B的充分不必要条件所以是的真子集所以或解得或所以a的取值范围是或18（2020宁夏长庆高级中学高二期中（文）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线：与双曲线的左支交于两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设双曲线方程为(，).由已知得：，再由，双曲线方程为.（2）设，将代入，得，由题意知解得.所以当时，l与双曲线左支有两个交点.
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